Еще раз о сечении Дедекинда.

[Eugene567]

Кто-то наверху интересовался насчет умножения.
Геометрически можно легко умножить отрезки. Достаточно построить подобные прямоугольные треугольники $\triangle ACB\sim\triangle A'CB'$.
Угол $\angle C$ - прямой.
У одного треугольника катет $AC=1$ и другой катет $CB=x$.
У второго катет $AC'=y$, тогда другой катет равен $C'B'=xy$.

[arseniiv]

Точнее, находить решение уравнения $ax = bc$. Умножением это станет только после выбора единичного отрезка. Но к чему это?

[Eugene567]

Кто-то наверху говорил об умножении на геометрической прямой.

[ewert]

Зорич там говорил. Имея в виду многократные сложения, порождаемые (формально) трансляциями.

Имел право. Хотя, по-моему, и напрасно. По-моему, тут логика обратная. Да, арифметические операции мы можем отождествить с изначальной прямой -- на $\mathbb Q$. Но вот дальше уж извините. Дальше мы вещественные числа допиливаем до конца, т.к. вынуждены. И уже после этого -- только после -- мы можем придать вменяемый смысл иррациональным точкам на прямой.

Поскольку вычислительные потребности тут первичны. Живописи же -- вторичны. Они лишь питаются от вычислений.

[manul91]

http://www.lightandmatter.com/calc/inf/
Вопрос - принадлежат ли числа Леви-Чивита (и гипервещественные числа Робинсона) геометрической прямой, или нет - и почему? : ))

[george66]

Аксиомы Гильберта для геометрии используют язык второго порядка. Аксиома полноты - каждое ограниченное непустое множество точек прямой имеет точную грань (супремум). Или вариант Кантора - каждая убывающая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку (чтобы говорить о последовательностях, тоже нужен язык второго порядка). Всем советую читать очень доходчивую книгу Энгелера "Метаматематика элементарной математики"
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def

[Mr Tube]

Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):

Ну хорошо, допустим мы выяснили, что множество рациональных чисел имеет дырки, не обращаясь к конкретным примерам.
Допустим мы ввели концепцию сечения Дедекинда, определили, что такое иррациональное число.
Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?
То есть как доказать, что точке соответствует одно сечение, а одному сечению - одна точка?
Что, если одно сечение определяет не одно число, а некоторое множество?
К примеру сечение $(-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$ определяет не $\sqrt{2}$, а некоторую сущность $\left\lbrace\sqrt{2}-\varepsilon,\sqrt{2}+\varepsilon\right\rbrace$.
Под символом $\left\lbrace a-\varepsilon,a+\varepsilon\right\rbrace$ - подразумевается некоторая сущность, не являющаяся ни отрезком, ни интервалом, а является неким множеством - микроконтинуумом, не содержащим рациональных чисел.
И вот иррациональное число отождествляется с точкой на оси, и мы думаем что заполнили все точки на оси, а на самом деле мы пропустили бесконечное множество точек микроконтиннуума.
Можете ли вы гарантировать, что не существует никакого геометрического парадокса, который заставит ввести такие множества типа микроконтинуума.

Парадокс существует, называется вторая проблема Гильберта. Выход из парадокса - строгое, без рассуждений следование аксиоме, суть которой в том, что последовательность действительных чисел непрерывна, а числовая ось - "без дырок"
В принципе Ваши "невидимые" числа чем-то похожи на бесконечно малые, которые хоть и отличны от нуля, но точное значение этого отличия в математике неопределимо. Уже в самом понятии бесконечно малых заложен абсурд, а значит их существование под вопросом (как может существовать абсурдный математический объект!), и при этом бесконечно малые, это основа анализа. Другими словами, бесконечно малые на оси, это "дырки" в пространстве (в одномерном, в случае оси), т.е. куда бы вы ни "ткнули пальцем" на числовой оси - всегда попадете в действительное число, а между соседними числами, которые отличаются на бесконечно малую величину, вы "ткнуть" не сможете по определению, хотя это отличие не нулевое. Налицо (исходя из аксиомы о непрерывности последовательности действительных чисел) отсутствие пространства между соседними числами.
Между прочим, отсюда вытекает и дискретности времени ...

[Someone]

Mr Tube в сообщении #1417479 писал(а):

Уже в самом понятии бесконечно малых заложен абсурд, а значит их существование под вопросом (как может существовать абсурдный математический объект!), и при этом бесконечно малые, это основа анализа.

Безграмотный бред. В стандартном математическом анализе бесконечно малых чисел просто нет, а в нестандартном они вводятся непротиворечивым образом.

Mr Tube в сообщении #1417479 писал(а):

между соседними числами

"Соседних" действительных чисел не бывает. Между любыми двумя действительными числами всегда есть ещё бесконечное множество действительных чисел.

Mr Tube в сообщении #1417479 писал(а):

"ткнуть" не сможете

Сможем или не сможем — зависит от того, каким способом мы будем "тыкать".

[Pphantom]

Mr Tube, предупреждение за безобразие в ПРР. Не надо пытаться кому-то что-то объяснять, если вы не владете предметом обсуждения.

[Eugene567]

Я кое-что понял. Возвращаясь к моему вопросу:

Цитата:

Eugene567
Что если я сделаю так:
Невидимое сечение - это такое разбиение множества действительных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое действительное число из $A$ меньше любого действительного из $B$,
и каждое действительное число попадает в один из классов.
Далее утверждается, что существуют следующие типы сечений:
1. $(-\infty,a]\cup(a,+\infty)$
2. $(-\infty,a)\cup[a,+\infty)$
3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$
В последнем случае говорится, что сечение определяет невидимое число $a$.

Я думаю надо рассуждать так:
Допустим у нас есть сечение в области действительных чисел. Иначе говоря, мы разбили множество действительных чисел на два непустых подмножества (классы),
такие что все действительные числа попадают только в один класс и каждое число из левого класса меньше любого из правого.
Если мы разбили множество действительных чисел таким образом, то ведь это означает, что и каждое рациональное число попадает только в один из классов,
и каждое рациональное число из левого класса меньше любого из правого. Иначе говоря сечение в множестве действительных чисел определяет сечение в множестве рациональных.
А раз у нас определено сечение в области рациональных чисел, то у нас определено действительное число.
Иначе говоря невидимого числа не получается.
Это в принципе, то же, что и в абзаце у Фихтенгольца.
Но надо заметить, что здесь речь идет о множестве действительных чисел, именно как о множестве "самом в себе", то есть ни о какой геометрической оси здесь речи не идет.

[arseniiv]

Eugene567 в сообщении #1418187 писал(а):

А раз у нас определено сечение в области рациональных чисел, то у нас определено действительное число.

Ещё надо показать, что это число будет входить в один из классов исходного вещественного сечения (и будет точной гранью обоих, одному верхней и другому нижней). Тогда да, всё прекрасно.