В арке около одной из стен стоит мальчик и бросает мяч...

[melnikoff]

В арке около одной из стен стоит мальчик и бросает мяч из точки A, находящейся на высоте h = 170 см над землёй. Начальная скорость мяча $v_0$ = 15 м/с. Мяч вернулся в точку бросания спустя t = 3 с, описав траекторию, показанную на рисунке. Чему равно расстояние D между стенами арки? Все соударения мгновенные и абсолютно упругие, сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Мое решение:
$D = \frac{t}{4}\sqrt{v_0^2 - v_{0y}^2} = $
$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_{0y} + \frac{gt}{8})^2 - v_{0y}^2}{2g}$
$v_{0y} = \frac{8h - \frac{gt^2}{16}}{t}$
$D = \frac{t}{4}\sqrt{v_0^2 - (\frac{8h - \frac{gt^2}{16}}{t})^2}$.
Вроде всё верно, но ответ неверный...
Верный ответ: $D = \frac{t}{4}\sqrt{v_0^2 + 2gh - \frac{g^2t^2}{4}}$.
Где ошибка?

[EUgeneUS]

Поясните, пожалуйста, решение со второй формулы ($h = ...$)

[fred1996]

melnikoff
У меня получилось, что ваш ответ верный, а верный неверный.
Перечитайте внимательнее еще раз условие задачи.

[AnatolyBa]

У меня сомнения в корректности задачи. Не получается такая траектория при заданных цифрах

[Dmitriy40]

У меня ответ совпадает с верным. Траектория тоже совпадает (примерно, с точностью до топологии). Для проверки: угол бросания примерно 67° от горизонта вверх.

[gris]

верен верный ответ. Надо по простоте: сложить время ниже А и выше А.
Выше: $2V_{0y}t_2-gt_2^2=0$
Ниже: $8h-4V_{0y}t_1-gt_1^2=0$
Берём положительные корни и складываем. Хорошо сокращается.

[Munin]

Если бросать мяч с земли, то $4D$ по горизонтали мяч пролетает за 3 секунды. На высоте точки $A$ мяч оказывается через 3/8 секунды после броска с земли. И там он имеет скорость 15 м/с. А какую он там имеет вертикальную скорость? Это $g\cdot(3/2-3/8)\text{ с}=11{,}25\text{ м}/\text{с}.$ Значит, горизонтальная скорость всю дорогу равна (по теореме Пифагора) 9,92 м/с.
Но проверим. В задаче у нас не использована $h.$ По нашим расчётам она должна быть равна $\tfrac{g}{2}((\tfrac{3}{2})^2-(\tfrac{9}{8})^2)\text{ с}^2\approx 4{,}9\text{ м}.$

Видимо, рисунок вводит в заблуждение, и на самом деле, траектория мяча не симметрична.

[AnatolyBa]

Если рисунок не верен, тогда да, получается.
И у ТС ошибочка - 8 во второй формуле

[wrest]

melnikoff в сообщении #1417325 писал(а):

Верный ответ: $D = \frac{t}{4}\sqrt{v_0^2 + 2gh - \frac{g^2t^2}{4}}$.

(Оффтоп)

Тут наблюдается следующая проблема. Под корнем, очевидно, квадрат горизонтальной скорости, т.е. $v_{0x}^2=v_0^2 + 2gh - \frac{g^2t^2}{4}$.
Поскольку $2gh=300> \frac{g^2t^2}{4}=225$ то выходит, что горизонтальная скорость больше полной $v_{0x}>v_0$ , а значит квадрат вертикальной скорости отрицателен $v_{0y}^2<0$, что как-то странно

См. ниже.

[EUgeneUS]

wrest

Как обычно. Где-то была задача без чисел, но какой-то компилятор задачника решил внести свой вклад и добавил числа.

[wrest]

EUgeneUS

Стоп. $h=1,7$ же а не 15.

Короче, "верен верный ответ", в соответствии с заветами ув. gris.
Соответственно, условие существования такой траектории $2h<\dfrac{gt^2}{4}$
Условие выглядит необычно: в него не входит $v_0$
Но что-то "напальцевое" это условие означает, я чувствую.
Перепишем условие так:
$2gh<\left(\dfrac{gt}{2}\right)^2$
и так:
$4h<\dfrac{gt^2}{2}$
И помедитируем.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1417404 писал(а):

И помедитируем.

А чего медитировать? Просто же тут.
1. Уберем стенки.
2. Тогда "траектория замкнулась" превращается в "шарик вернулся на высоту $h$". Причем, если бросали вверх, то шарик вернулся снизу, и наборот.
3. Ваше условие означает, что "время возвращения шарика" не может быть сколь угодно малым.

Еще более очевидно, если бросать с земли: если шарик достигает высоты $h$, то время его полета не может быть сколь угодно малым.

-- 25.09.2019, 20:12 --

Dmitriy40 в сообщении #1417358 писал(а):

Для проверки: угол бросания примерно 67° от горизонта вверх.

Или вниз.

[Dmitriy40]

Я решал через кинетическую энергию (делённую на массу), вертикальная составляющая скорости в момент отскока от земли получается легко (из условия смены знака с сохранением модуля вертикальной скорости за время $t$ под действием постоянной $g$), в момент броска энергия известна, разница энергий в момент броска и у земли тоже известна (равна потенциальной), суммируем, подставляем, приравниваем, решаем и получаем условие на квадрат горизонтальной составляющей скорости. Ровно что под корнем в "верном" ответе. Дальше очевидно.
Но с цифрами какая-то беда, да, горизонтальная скорость получается $\approx 5{,}83$ м/с.

[EUgeneUS]

У меня получилось, что траектория будет симметричной при:

$t= \frac {8}{3} \sqrt{\frac{2h}{g}} $

Кстати, ответ ТС получен в предположении, что траектория симметрична, но он не обеспечивает, что траектория замкнётся, то есть не обеспечивает, что траектория на самом деле симметрична.

Верный верный ответ - это условие, что траектория замкнулась.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1417425 писал(а):

У меня получилось, что траектория будет симметричной при:

$t= \frac {8}{3} \sqrt{\frac{2h}{g}} $

То есть, из исходных данных следует, что траектория как на картинке -- невозможна при данных исходных данных?

P.S. А ну да, ув. AnatolyBa об этом выше и написал...