Цилиндр, нить.

[dovlato]

Прямая бесконечная нить несёт заряд с постоянной линейной плотностью $\lambda$.
Нить параллельна оси бесконечного проводящего незаряженного кругогого цилиндра и находится расстоянии $R$ от неё. Радиус цилиндра $R_0$. Найти линейную плотность силы взаимодействия нити с цилиндром.

[Munin]

dovlato в сообщении #1414605 писал(а):

кругогого

Кругового :-)

Задача сложновата. Я пас.

[12d3]

Раз есть заряд и проводник, то надо использовать метод изображений. Мы, конечно, заранее не знаем, что должно из себя представлять изображение, но предположим, что это тоже нить противоположного заряда. Как проверить, что это действительно нить? Нам нужно, чтобы поле от нити плюс поле от изображения было нормально к поверхности цилиндра. Потенциал заряженной нити $\displaystyle\varphi \sim \ln{r}$, а потенциал поля от двух нитей противоположного заряда $\displaystyle\varphi \sim \ln\frac{r_1}{r_2}$. Значит, эквипотенциальная поверхность - это $\displaystyle\frac{r_1}{r_2} = const$, а это окружность Аполлония, как раз то, что нам надо. Нам нужно поместить нить-изображение так, чтобы на поверхности цилиндра $\displaystyle\frac{r_1}{r_2} = const$. В этом случае изображение будет находиться на расстоянии $\displaystyle\frac{R_0^2}{R}$ от оси цилиндра, и сила притяжения на единицу длины равна $\displaystyle\frac{\lambda^2}{2\pi \varepsilon_0\left(R-\frac{R_0^2}{R}\right)}$

[Утундрий]

Стоило бы уточнить: проводник изолирован или заземлён? Во втором случае в центр круга нужно добавить компенсирующий заряд.

[dovlato]

Согласен, Munin, три "го" подряд - это чересчур)).
Вывод коллегой 12d3 нужной ф-лы вызвал у меня прямо эстетическое чувство.
(назвать коллегой Аполлония Тианского у меня не хватило наглости).
Утундрий, разумеется, прав. Здесь возможны те же варианты, что и в известной задаче
взаимодействия проводящей сферы и заряженной точки. В частности, заряженная
нить может быть и внутри полой трубки. Существенно тут то, что в случае сферы
фиктивный заряд по величине меньше первого заряда - а "цилиндрическом" варианте
они уже равны.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1414641 писал(а):

Стоило бы уточнить: проводник изолирован или заземлён? Во втором случае в центр круга нужно добавить компенсирующий заряд.

А разве не наоборот, в первом? (Я так понимаю, компенсирующий заряд обеспечивает, что полный заряд проводника нуль. Впрочем, в данном случае обоснование хуже, потому что заряд может утечь вдоль трубки на бесконечность.)

[dovlato]

Да, наверное, для заземлённого цилиндра компенсация не нужна.

[Утундрий]

Да, переставьте там у меня случаи местами. Компенсатор нужен в случае изолированного проводника.

[fred1996]

Маленькое уточнение. Когда говорят о заземлении, обычно считается, что потенциал проводника равен потенциалу на бесконечности. Но у нас задаче сами обьекты уходят на бесконечность. Поэтому стоит оговорить, что бесконечностью имеется ввиду бесконечное расстояние от нити и цилиндра. Или бесконечность в смысле 2D, а не 3D, как это принято в обычных задачах на метод изображений.
А еще мне любопытно, что будет в случае точечного заряда и тонкого проводящего кольца? То есть в чистой двумерной задаче?

[Munin]

fred1996 в сообщении #1416929 писал(а):

Когда говорят о заземлении, обычно считается, что потенциал проводника равен потенциалу на бесконечности.

Здесь, видимо, в более техническом смысле, просто потенциал нулевой.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1416929 писал(а):

Или бесконечность в смысле 2D, а не 3D, как это принято в обычных задачах на метод изображений.

Именно двумерный случай имеется в виду. Причем в этом случае потенциал от нити на бесконечности расходится (логарифмически).