2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Цилиндр, нить.
Сообщение11.09.2019, 21:22 
Прямая бесконечная нить несёт заряд с постоянной линейной плотностью $\lambda$.
Нить параллельна оси бесконечного проводящего незаряженного кругогого цилиндра и находится расстоянии $R$ от неё. Радиус цилиндра $R_0$. Найти линейную плотность силы взаимодействия нити с цилиндром.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение11.09.2019, 23:19 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #1414605 писал(а):
кругогого

Кругового :-)

Задача сложновата. Я пас.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 01:46 
Раз есть заряд и проводник, то надо использовать метод изображений. Мы, конечно, заранее не знаем, что должно из себя представлять изображение, но предположим, что это тоже нить противоположного заряда. Как проверить, что это действительно нить? Нам нужно, чтобы поле от нити плюс поле от изображения было нормально к поверхности цилиндра. Потенциал заряженной нити $\displaystyle\varphi \sim \ln{r}$, а потенциал поля от двух нитей противоположного заряда $\displaystyle\varphi \sim \ln\frac{r_1}{r_2}$. Значит, эквипотенциальная поверхность - это $\displaystyle\frac{r_1}{r_2} = const$, а это окружность Аполлония, как раз то, что нам надо. Нам нужно поместить нить-изображение так, чтобы на поверхности цилиндра $\displaystyle\frac{r_1}{r_2} = const$. В этом случае изображение будет находиться на расстоянии $\displaystyle\frac{R_0^2}{R}$ от оси цилиндра, и сила притяжения на единицу длины равна $\displaystyle\frac{\lambda^2}{2\pi \varepsilon_0\left(R-\frac{R_0^2}{R}\right)}$

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 08:56 
Аватара пользователя
Стоило бы уточнить: проводник изолирован или заземлён? Во втором случае в центр круга нужно добавить компенсирующий заряд.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 17:03 
Согласен, Munin, три "го" подряд - это чересчур)).
Вывод коллегой 12d3 нужной ф-лы вызвал у меня прямо эстетическое чувство.
(назвать коллегой Аполлония Тианского у меня не хватило наглости).
Утундрий, разумеется, прав. Здесь возможны те же варианты, что и в известной задаче
взаимодействия проводящей сферы и заряженной точки. В частности, заряженная
нить может быть и внутри полой трубки. Существенно тут то, что в случае сферы
фиктивный заряд по величине меньше первого заряда - а "цилиндрическом" варианте
они уже равны.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 17:08 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #1414641 писал(а):
Стоило бы уточнить: проводник изолирован или заземлён? Во втором случае в центр круга нужно добавить компенсирующий заряд.

А разве не наоборот, в первом? (Я так понимаю, компенсирующий заряд обеспечивает, что полный заряд проводника нуль. Впрочем, в данном случае обоснование хуже, потому что заряд может утечь вдоль трубки на бесконечность.)

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 17:12 
Да, наверное, для заземлённого цилиндра компенсация не нужна.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение12.09.2019, 17:23 
Аватара пользователя
Да, переставьте там у меня случаи местами. Компенсатор нужен в случае изолированного проводника.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение23.09.2019, 20:18 
Аватара пользователя
Маленькое уточнение. Когда говорят о заземлении, обычно считается, что потенциал проводника равен потенциалу на бесконечности. Но у нас задаче сами обьекты уходят на бесконечность. Поэтому стоит оговорить, что бесконечностью имеется ввиду бесконечное расстояние от нити и цилиндра. Или бесконечность в смысле 2D, а не 3D, как это принято в обычных задачах на метод изображений.
А еще мне любопытно, что будет в случае точечного заряда и тонкого проводящего кольца? То есть в чистой двумерной задаче?

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение23.09.2019, 23:18 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1416929 писал(а):
Когда говорят о заземлении, обычно считается, что потенциал проводника равен потенциалу на бесконечности.

Здесь, видимо, в более техническом смысле, просто потенциал нулевой.

 
 
 
 Re: Цилиндр, нить.
Сообщение24.09.2019, 07:08 
fred1996 в сообщении #1416929 писал(а):
Или бесконечность в смысле 2D, а не 3D, как это принято в обычных задачах на метод изображений.

Именно двумерный случай имеется в виду. Причем в этом случае потенциал от нити на бесконечности расходится (логарифмически).

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group