Вычисление проводимости кольца через угол (интеграл).

[Alex-Yu]

LifeDeath в сообщении #1416528 писал(а):

проинтегрировать кольцо разбивая его на малые кольца изменяющегося радиуса и проинтегрировать его, разбивая на малые секторы.

Среди составителей заданий безмозглые недоумки встречаются. И не сказать, что б очень редко. Увы, такова жизнь.

Ну возьмите сектор, выведите для него формулу (интегрируя по радиусу). Потом проинтегрируйте секторы, сложите их проводимости. А что тут еще сделаешь, коль так "повезло" с преподавателем... Только про себя знайте (но преподавателю не говорите!!!), что все это бред бессмысленный.

-- Вс сен 22, 2019 16:57:13 --

Евгений Машеров в сообщении #1416534 писал(а):

не смею обвинять его в маразме

Ну и зря. А я смею. Ну все же тут очевидно

P.S. Я лично знаком с довольно большим количеством профессоров (не считая доцентов) местных вузов (большой, но провинциальный город). Доля тех, кого иначе как безграмотными недоумками назвать невозможно, никак не менее двух-трех десятков процентов. Ситуация особенно ухудшилась, начиная с 90-ых годов. Так что удивляться таким заданиям лично мне не приходится.

[Евгений Машеров]

Тем не менее меня не оставляет надежда, что это парадокс, предложенный студентам, дабы они усвоили, что "Бесконечно малое" это не число, и если одна величина Б.М., и вторая Б.М., то они не обязаны быть равны. Ну, а выяснится на занятии, где, возможно, заявившим "у меня всё сошлось обоими способами" будут розданы двойки, а недоумевающим - предложены объяснения.

[Alex-Yu]

Евгений Машеров в сообщении #1416537 писал(а):

Тем не менее меня не оставляет надежда,

Вы просто уходите от печальной действительности, не хотите ее признавать.

А потом, что Вы предлагаете ТС? "На собственной шкуре" проверить, является или нет преподаватель безграмотным идиотом??? А если является? И Вам ТС не жалко? Ему же ой как не поздоровится... Придурки всегда (!!) очень не любят, когда им указывают на их придурочность. И, как правило, за это жестоко мстят.

[LifeDeath]

Евгений Машеров в сообщении #1416534 писал(а):

Ну, не зная лично Вашего преподавателя, не смею обвинять его в маразме, ниже в троллинге. Если Вы точно услыхали его объяснения, ничего не перепутав, то единственное объяснение в том, что получить противоречие и было его целью, чтобы потом, объяснив его, растолковать, где можно "интуитивно обосновывать бесконечной малостью", а где нельзя. Во втором случае нельзя.
Сопротивление неполного сектора, образованного дугами радиуса $r_1$ и $r_2$ с общим центром и проведенными из него радиусами с углом между ними $\alpha$ радиан, измеренное между контактами, присоединёнными к дугам, будет равно $R=\frac \rho \alpha \ln{\frac {r_2} {r_1}}$
Мне неизвестен способ найти это выражение проще, чем тот, которым Вы воспользовались в первом случае.

Спасибо. Ну преподаватель, насколько я понял, с мехмата, так что хорошо знать физику от него не ожидается. Однако он отмечал, что тут сложность именно в задании участка.
Вот по вашей формуле, получается $ d\sigma = \frac{1}{\rho} \ln\frac{r_1}{r_2} d\alpha$. Получается, нет способа получения этого логарифма, кроме описанного в первом способе? И для того чтоб решить задачу вторым способом, нужно воспользоваться результатом первого?

[Alex-Yu]

LifeDeath в сообщении #1416540 писал(а):

И для того чтоб решить задачу вторым способом, нужно воспользоваться результатом первого?

В рамках разума -- да. А что от Вас хотят --- этого знать невозможно. Какой-то чепухи. Но какой именно... Разных видов чепухи слишком много, бесконечно много.

[Евгений Машеров]

LifeDeath в сообщении #1416540 писал(а):

Вот по вашей формуле, получается $ d\sigma = \frac{1}{\rho} \ln\frac{r_1}{r_2} d\alpha$

Нет. Не получается. Обращать надо не величину под логарифмом, а значение логарифма.

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1416528 писал(а):

Сектор действительно расширяется, но ведь поэтому я использую интеграл?

Если бы у вас был интеграл по длине сектора, а под интегралом - какая-то величина, зависящая от ширины, то тогда да, "поэтому" бы вы его использовали.

А сейчас у вас этот интеграл относится к чему-то другому. И никакого изменения ширины в интеграле не учитывается.

-- 22.09.2019 14:15:57 --

Alex-Yu
Может быть, в постановке этой задачи - далёкий отголосок идеи решить не эту задачу, а комплексно-сопряжённую (найти векторное поле с заданной циркуляцией вокруг кольца)?

[Евгений Машеров]

Повторюсь. Я не знаю этого преподавателя, и даже ссылка на сайт ВУЗа мало что говорит о нём. Что не столь стар, чтобы быть маразматиком. Хотя случаются и достаточно молодые. Что, по-видимому, степени не имеет, ст.пр., а не доцент, несмотря на наличие педстажа, что тоже может говорить не о дефиците интеллекта, а о недостатке пробивных способностей. Но, в общем-то, ничего не известно.
Топикстартер знает его лично, и может сделать вывод - это дурость преподавателя, или он умный, и при этом пытающийся научить студентов думать, в том числе прибегая к приёму "обучение через парадокс". А может, и у топикстартера информации мало, но у нас-то совсем нет.
Если глупость преподавателя - "сей же дух ничем не изымается, ниже молитвою и постом". А если умышленный приём - надо понять, отчего замена непрямоугольника (кольца) на прямоугольник дозволена, а другая замена, сектора на прямоугольник - нет. Это понимание пригодится, даже если вдруг окажется, что "доцент тупой".

[LifeDeath]

Евгений Машеров в сообщении #1416545 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416540 писал(а):

Вот по вашей формуле, получается $ d\sigma = \frac{1}{\rho} \ln\frac{r_1}{r_2} d\alpha$

Нет. Не получается. Обращать надо не величину под логарифмом, а значение логарифма.

Прошу прощения, не то пишу.

А можно же рассмотреть малый участок как трапецию?


Где $b = R_2 d\alpha$ - большое основание,
$a = R_1 d\alpha$ - малое основание,
$L = R_2 - R_1$ - высота.

Тогда
$dR = R_s \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{dL}{W(x)} = R_s \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{\frac{b - a}{L} x + a} = \frac{R_s L}{b - a} [\ln(\frac{b - a}{L} R_1 + a) - \ln(\frac{b - a}{L} R_2 + a)] = \frac{R_s L}{b - a} \ln(\frac{\frac{b - a}{L} R_1 + a}{\frac{b - a}{L} R_2 + a})$

После подстановки a, b и L получаем:

$R = \frac{R_s}{d\alpha} \ln(\frac{2 R_1}{R_1 + R_2})$

Тогда имеем выражение для проводимости:

$d\sigma = \frac{1}{R_s} \frac{1}{\ln(\frac{2 R_1}{R_1 + R_2}) } d\alpha$

Проинтегрировав это по всему кругу, и перевернув дробь, получим:

$R = \frac{R_s}{2 \pi} \ln(\frac{2 R_1}{R_1 + R_2})$

Не сходится только выражение под логарифмом, тут либо моя ошибка в вычислениях, либо снова подход неверен.

-- 22.09.2019, 17:32 --

Евгений Машеров в сообщении #1416557 писал(а):

Надо понять, отчего замена непрямоугольника (кольца) на прямоугольник дозволена, а другая замена, сектора на прямоугольник - нет. Это понимание пригодится, даже если вдруг окажется, что "доцент тупой".

А можете подсказать в какую сторону тут размышлять? Ибо, видимо, в замене сектора на прямоугольник и возникает непонимание.

-- 22.09.2019, 17:34 --

Munin в сообщении #1416547 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1416528 писал(а):

Сектор действительно расширяется, но ведь поэтому я использую интеграл?

Если бы у вас был интеграл по длине сектора, а под интегралом - какая-то величина, зависящая от ширины, то тогда да, "поэтому" бы вы его использовали.

А сейчас у вас этот интеграл относится к чему-то другому. И никакого изменения ширины в интеграле не учитывается.

Так я интегрирую по углу. А угол, в свою очередь, я выразил через ширину.

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1416561 писал(а):

$\ldots= R_s \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{dL}{W(x)} = R_s \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{\frac{b - a}{L} x + a} =\ldots$

Вот в этом месте, когда вы совершаете замену переменной на $x,$ вы забыли пределы тоже поправить. Если написать правильно $\int\limits_0^L\ldots,$ то получится правильно.

-- 22.09.2019 14:38:18 --

LifeDeath в сообщении #1416561 писал(а):

А угол, в свою очередь, я выразил через ширину.

Нет, не выразили. В общем, у вас тут полное непонимание, что делается, как и зачем. Вот другое вычисление, которое вы написали, поразительно здраво и нормально.

[Евгений Машеров]

Это уже лучше.
А почему одна замена работает, другая нет? Ну, возможно, потому, что при уменьшении толщины кольца длины наружной и внутренней окружности стремятся друг к другу, а при уменьшении угла сектора отношение длин дуг остаётся тем же.

[LifeDeath]

Спасибо всем. Думаю такое решение преподаватель и имел ввиду. Пойду разбираться.

[Alex-Yu]

LifeDeath в сообщении #1416561 писал(а):

тут либо моя ошибка в вычислениях, либо снова подход неверен.

Через трапецию можно (по существу это то же самое интегрирование по радиусу). Ошибка в выкладках.

-- Вс сен 22, 2019 19:31:32 --

Евгений Машеров в сообщении #1416557 писал(а):

Но, в общем-то, ничего не известно.

Какие сложные построения. И всего лишь для того, чтобы не называть вещи своими именами

-- Вс сен 22, 2019 19:33:19 --

Евгений Машеров в сообщении #1416557 писал(а):

числе прибегая к приёму "обучение через парадокс".

Такой метод может и не плох. Но не в этом случае. Здесь не парадокс, здесь просто дурь: в любом случае содержательное интегрирование -- это интегрирование по радиусу. А уж трапецию взять, или тоненькие кольца... Да какая разница! Нет тут ДВУХ способов. Есть один способ с небольшими, чисто номинальными, бессодержательными вариациями.

[Евгений Машеров]

Ну во-первых (и думаю, не один я) с попкорном в руках ждём разрешения ситуации - это было умышленная провокация, дабы студиозусы поняли, что нельзя тупо интегрировать, надо понимать суть процессов, или

(Оффтоп)

старпёр

ст.пр. малость обдёрнулся.
А во-вторых, интеграл помогает там, где можно интегрировать, какая-то величина равна сумме, извините за грубое слово - аддитивна. "Первый способ" стоит на том, что при последовательном соединении сопротивления складываются, второй на том, что при параллельном соединении складываются проводимости. Но применению второго способа мешает то, что формулу для сопротивления сектора надо ещё вывести. А этот вывод сводится к "первому способу".

(Оффтоп)

Одного дикаря приучили есть вилкой. Он рукой вылавливал мясо из котла, накалывал на вилку и кушал по-цивилизованному.

А в-третьих, это не совсем выдуманная задача. Скажем, расчёт заземления в форме круглого стержня.

[Alex-Yu]

Евгений Машеров в сообщении #1416878 писал(а):

Скажем, расчёт заземления в форме круглого стержня.

А вот и нет! Задача про такое заземление существенно сложнее. Простое интегрирование по радиусу для КОНЕЧНОГО стержня не проходит, логарифмическая расходимость мешает. Родственная задача -- вычисление емкости конечного цилиндра (гуглите метод Хоу в качестве простенького приближения).