2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Понадобилось мне арктангенс экономизовать и вот что из этого вышло:
$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \frac{1}
{{\sqrt 2  + 1}}\frac{{T_1 \left( x \right)}}
{1} - \frac{1}
{{5\sqrt 2  + 7}}\frac{{T_3 \left( x \right)}}
{3} + \frac{1}
{{29\sqrt 2  + 41}}\frac{{T_5 \left( x \right)}}
{5} - \frac{1}
{{169\sqrt 2  + 239}}\frac{{T_7 \left( x \right)}}
{7} + 
\]$$
$$
\[
 + \frac{1}
{{985\sqrt 2  + 1393}}\frac{{T_9 \left( x \right)}}
{9} - \frac{1}
{{5741\sqrt 2  + 8119}}\frac{{T_{11} \left( x \right)}}
{{11}} + \frac{1}
{{33461\sqrt 2  + 47321}}\frac{{T_{13} \left( x \right)}}
{{13}} - 
\]
$$
$$
\[
 - \frac{1}
{{195025\sqrt 2  + 275807}}\frac{{T_{15} \left( x \right)}}
{{15}} + \frac{1}
{{1136689\sqrt 2  + 1607521}}\frac{{T_{17} \left( x \right)}}
{{17}} - 
\]
$$
$$
\[
 - \frac{1}
{{6625109\sqrt 2  + 9369319}}\frac{{T_{19} \left( x \right)}}
{{19}} + ...
\]
$$Больно уж специфичные числа в знаменателе. Квадраты отличаются на единицу, много простых... Вот и подумалось, а не натыкался ли кто-нибудь на явное выражение для общего члена такого разложения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 21:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Я не натыкался, но у меня другой вопрос. Допустим, нужно нам аппроксимировать арктангенс многочленами. Ну нужно, конечно. Но: а нафига нам для этого явные формулы?... -- когда для практических целей тупо достаточно численных значений коэффициентов.

Для непрактических же -- и вовсе ничего не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:06 
Заслуженный участник


25/02/11
1689
С помощью математики чисто для приведенных коэффициентов в знаменателях при $T_{2n+1}(x)$ получается $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(3+2 \sqrt{2}\right)^{n-1}$.

Upd

Все еще проще: $(\sqrt2+1)^{2n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Трёхчленное рекуррентное соотношение, как и для полиномов Чебышёва. Возможно они связаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:13 


27/10/17
56
Может поможет.
Перед корнем из двойки: https://oeis.org/A001653
Второе слагаемое в знаменателе: https://oeis.org/A002315

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233

(Оффтоп)

Этот сайт не может обеспечить безопасное соединение
На сайте oeis.org используется неподдерживаемый протокол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:26 


27/10/17
56
Все равно уже не актуально.
Vince Diesel указал общую формулу для знаменателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Vince Diesel в сообщении #1416259 писал(а):
Все еще проще: $(\sqrt2+1)^{2n-1}$.
Мило. Следовательно
$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {( - 1)^k \frac{{T_{2k + 1} \left( x \right)}}
{{\left( {2k + 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^{2k + 1} }}} 
\]
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экономизируя арктангенс
Сообщение20.09.2019, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145

(Разное про OEIS)

optimist
На форуме есть тег oeis, делающий её использование чуть более удобным: [oeis]A001653[/oeis]A001653, всплывает подсказка с первыми членами и частью названия последовательности.

Утундрий в сообщении #1416267 писал(а):
Этот сайт не может обеспечить безопасное соединение
На сайте oeis.org используется неподдерживаемый протокол.
Ого, странно! Выглядит как махинации провайдеров, у меня там нормальное рабочее HTTPS.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group