Экономизируя арктангенс

[Утундрий]

Понадобилось мне арктангенс экономизовать и вот что из этого вышло:

$$\[ \frac{1} {2}\operatorname{arctg} x = \frac{1} {{\sqrt 2 + 1}}\frac{{T_1 \left( x \right)}} {1} - \frac{1} {{5\sqrt 2 + 7}}\frac{{T_3 \left( x \right)}} {3} + \frac{1} {{29\sqrt 2 + 41}}\frac{{T_5 \left( x \right)}} {5} - \frac{1} {{169\sqrt 2 + 239}}\frac{{T_7 \left( x \right)}} {7} + \]$$

$$ \[ + \frac{1} {{985\sqrt 2 + 1393}}\frac{{T_9 \left( x \right)}} {9} - \frac{1} {{5741\sqrt 2 + 8119}}\frac{{T_{11} \left( x \right)}} {{11}} + \frac{1} {{33461\sqrt 2 + 47321}}\frac{{T_{13} \left( x \right)}} {{13}} - \] $$

$$ \[ - \frac{1} {{195025\sqrt 2 + 275807}}\frac{{T_{15} \left( x \right)}} {{15}} + \frac{1} {{1136689\sqrt 2 + 1607521}}\frac{{T_{17} \left( x \right)}} {{17}} - \] $$

$$ \[ - \frac{1} {{6625109\sqrt 2 + 9369319}}\frac{{T_{19} \left( x \right)}} {{19}} + ... \] $$

Больно уж специфичные числа в знаменателе. Квадраты отличаются на единицу, много простых... Вот и подумалось, а не натыкался ли кто-нибудь на явное выражение для общего члена такого разложения?

[ewert]

Я не натыкался, но у меня другой вопрос. Допустим, нужно нам аппроксимировать арктангенс многочленами. Ну нужно, конечно. Но: а нафига нам для этого явные формулы?... -- когда для практических целей тупо достаточно численных значений коэффициентов.

Для непрактических же -- и вовсе ничего не нужно.

[Vince Diesel]

С помощью математики чисто для приведенных коэффициентов в знаменателях при $T_{2n+1}(x)$ получается $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(3+2 \sqrt{2}\right)^{n-1}$.

Upd

Все еще проще: $(\sqrt2+1)^{2n-1}$.

[Утундрий]

Трёхчленное рекуррентное соотношение, как и для полиномов Чебышёва. Возможно они связаны.

[optimist]

Может поможет.
Перед корнем из двойки: https://oeis.org/A001653
Второе слагаемое в знаменателе: https://oeis.org/A002315

[Утундрий]

(Оффтоп)

Этот сайт не может обеспечить безопасное соединение
На сайте oeis.org используется неподдерживаемый протокол.

[optimist]

Все равно уже не актуально.
Vince Diesel указал общую формулу для знаменателя.

[Утундрий]

Vince Diesel в сообщении #1416259 писал(а):

Все еще проще: $(\sqrt2+1)^{2n-1}$.

Мило. Следовательно

$$\[ \frac{1} {2}\operatorname{arctg} x = \sum\limits_{k = 0}^\infty {( - 1)^k \frac{{T_{2k + 1} \left( x \right)}} {{\left( {2k + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2k + 1} }}} \] $$

[arseniiv]

(Разное про OEIS)

optimist
На форуме есть тег oeis, делающий её использование чуть более удобным: [oeis]A001653[/oeis] → A001653, всплывает подсказка с первыми членами и частью названия последовательности.

Утундрий в сообщении #1416267 писал(а):

Этот сайт не может обеспечить безопасное соединение
На сайте oeis.org используется неподдерживаемый протокол.

Ого, странно! Выглядит как махинации провайдеров, у меня там нормальное рабочее HTTPS.