 |
Научный форум dxdyМатематика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки |
|
Научный форум dxdyМатематика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки |
|
|
|||
|
|
||
 |
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
|
|||
|
|
||
|
|||
| Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
20.09.2019, 20:56 
![$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \frac{1}
{{\sqrt 2 + 1}}\frac{{T_1 \left( x \right)}}
{1} - \frac{1}
{{5\sqrt 2 + 7}}\frac{{T_3 \left( x \right)}}
{3} + \frac{1}
{{29\sqrt 2 + 41}}\frac{{T_5 \left( x \right)}}
{5} - \frac{1}
{{169\sqrt 2 + 239}}\frac{{T_7 \left( x \right)}}
{7} +
\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/9/be90329a316c4e9853225d5debf05ebc82.png "$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \frac{1}
{{\sqrt 2 + 1}}\frac{{T_1 \left( x \right)}}
{1} - \frac{1}
{{5\sqrt 2 + 7}}\frac{{T_3 \left( x \right)}}
{3} + \frac{1}
{{29\sqrt 2 + 41}}\frac{{T_5 \left( x \right)}}
{5} - \frac{1}
{{169\sqrt 2 + 239}}\frac{{T_7 \left( x \right)}}
{7} +
\]$$")
![$$
\[
+ \frac{1}
{{985\sqrt 2 + 1393}}\frac{{T_9 \left( x \right)}}
{9} - \frac{1}
{{5741\sqrt 2 + 8119}}\frac{{T_{11} \left( x \right)}}
{{11}} + \frac{1}
{{33461\sqrt 2 + 47321}}\frac{{T_{13} \left( x \right)}}
{{13}} -
\]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/9/7f9969ec3093e4c024b3012555394ace82.png "$$
\[
+ \frac{1}
{{985\sqrt 2 + 1393}}\frac{{T_9 \left( x \right)}}
{9} - \frac{1}
{{5741\sqrt 2 + 8119}}\frac{{T_{11} \left( x \right)}}
{{11}} + \frac{1}
{{33461\sqrt 2 + 47321}}\frac{{T_{13} \left( x \right)}}
{{13}} -
\]
$$")
![$$
\[
- \frac{1}
{{195025\sqrt 2 + 275807}}\frac{{T_{15} \left( x \right)}}
{{15}} + \frac{1}
{{1136689\sqrt 2 + 1607521}}\frac{{T_{17} \left( x \right)}}
{{17}} -
\]
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/5/a6519731a67f7880e99e43b30de4d79282.png "$$
\[
- \frac{1}
{{195025\sqrt 2 + 275807}}\frac{{T_{15} \left( x \right)}}
{{15}} + \frac{1}
{{1136689\sqrt 2 + 1607521}}\frac{{T_{17} \left( x \right)}}
{{17}} -
\]
$$")
![$$
\[
- \frac{1}
{{6625109\sqrt 2 + 9369319}}\frac{{T_{19} \left( x \right)}}
{{19}} + ...
\]
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/6/6560d41dee28f086dd751954fa8dd0c382.png "$$
\[
- \frac{1}
{{6625109\sqrt 2 + 9369319}}\frac{{T_{19} \left( x \right)}}
{{19}} + ...
\]
$$")
Больно уж специфичные числа в знаменателе. Квадраты отличаются на единицу, много простых... Вот и подумалось, а не натыкался ли кто-нибудь на явное выражение для общего члена такого разложения?
получается 
.
.![$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \sum\limits_{k = 0}^\infty {( - 1)^k \frac{{T_{2k + 1} \left( x \right)}}
{{\left( {2k + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2k + 1} }}}
\]
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/5/10504a0f6ce8684a576bfcf3990bd5ed82.png "$$\[
\frac{1}
{2}\operatorname{arctg} x = \sum\limits_{k = 0}^\infty {( - 1)^k \frac{{T_{2k + 1} \left( x \right)}}
{{\left( {2k + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2k + 1} }}}
\]
$$")