Еще раз о сечении Дедекинда.

[INGELRII]

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Как доказать что сечение Дедекинда вида: $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$ определяет только одно число a (именно как одну точку)?

Дык попробуйте от обратного, а именно: предположите, что существует сечение, которое не определяет действительное число однозначно, то есть определяет минимум два неравных действительных числа. И выведите оттуда противоречие.

[Eugene567]

Понимаете в чем дело. Если понимать иррациональное число как сечение определенного вида в множестве рациональных чисел, то тут противоречий не возникает, так как это определение.
И тут неважно как вы представляете иррациональные числа. Иррациональное число - это нечто, определяемое сечением. Но для меня проблема возникает, если интерпретировать иррациональные числа как точки на действительной оси. Тут непонятно как доказать что теперь ось заполнена и не имеет дырок. По моему предположению - это аксиома. Иначе говоря постулируется тот факт, что точки соответствующие рациональным числам и точки соответствующие иррациональным заполняют всю ось без дырок. И вот как мне кажется это доказать нельзя.
Так как иррациональные числа - это, как я уже сказал, нечто определяемое сечением, то собственно вопрос: А почему их интерпретируют как точки? Как я уже предложил - геометрически интерпретировать их как некие интервалы, не содержащие рациональных чисел.

[Sender]

Eugene567 в сообщении #1416201 писал(а):

Как я уже предложил - геометрически интерпретировать их как некие интервалы, не содержащие рациональных чисел.

И какова же, позвольте спросить, ширина такого интервала?

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1416201 писал(а):

если интерпретировать иррациональные числа как точки на действительной оси

В которой раз спрашиваю - что вы понимаете под осью?

[Eugene567]

С точки зрения чисел из интервала ширина интервала равна бесконечности. С точки зрения действительных чисел ширина меньше любого числа, но не равна нулю.

mihaild
Как что - прямую. А вы что подразумеваете?

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1416209 писал(а):

Как что - прямую

А что такое "прямая"? Определение дайте.

Eugene567 в сообщении #1416209 писал(а):

А вы что подразумеваете?

Множество всех вещественных чисел.

[Eugene567]

Геометрическая прямая - это начальное, неопределяемое понятие, такое же как точка, плоскость, множество, функция.
Множество всех вещественных чисел - это другое понятие.
С чего вдруг множество вещественных чисел стало геометрической прямой мне не понятно.

[oleg.k]

Eugene567 в сообщении #1416217 писал(а):

функция.

На счет множества это еще ладно, т.к у Вас наивная теория множеств. Но функция то когда стала неопределяемой?

[Eugene567]

Хорошо, пускай определяемое, сути это не меняет.

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1416217 писал(а):

Геометрическая прямая - это начальное, неопределяемое понятие, такое же как точка, плоскость, множество, функция

Это начальное понятие в геометрии. Но в геометрии нет понятия вещественных чисел, поэтому в ней говорить о том, как иррациональные числа заполняют прямую, не получится.

В теории множеств геометрическая прямая (=одномерное пространство) определяется как множество вещественных чисел, плоскость - как декартов квадрат этого множества и т.д. Можно переформулировать аксиомы геометрии на языке теории множеств, и доказать, что они выполнены для так определенной плоскости (т.е. что плоскость является моделью двумерной евклидовой геометрии).

А если у вас прямая - это "то, не знаю что", то естественно ничего про её связь с вещественными числами сказать не получится.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1416212 писал(а):

Eugene567 в сообщении #1416209 писал(а):

А вы что подразумеваете?

Множество всех вещественных чисел.

mihaild в сообщении #1416225 писал(а):

В теории множеств геометрическая прямая (=одномерное пространство) определяется как множество вещественных чисел...

А что тогда имеют в виду авторы учебников по матану, когда говорят про "геометрическую модель множества вещественных чисел"? Какие объекты являются элементами этой "геометрической модели"?

[Eugene567]

mihaild
А длина в геометрии есть?

[ewert]

oleg.k в сообщении #1416129 писал(а):

И тут начинаются странные (лично для меня) вещи. Я уже не первый раз замечаю, что вещественные числа отождествляют с сечениями в области рациональных, что имхо не очень правильно.

Это я так, навскидку зацепился. Кто отождествляет-то?... Это всего-навсего один из эквивалентных подходов. Да, эстетически могущий показаться кому-то странным. Но и наиболее лаконичный при изложении (а вот это уже объективно). Я вовсе не фанат Дедекинда; но что у него есть -- то да, было.

oleg.k в сообщении #1416129 писал(а):

являются ли вещественные числа наилучшей моделью для описания задач, которые они собственно описывают. Может быть можно придумать какие-то другие числа, которые лучше описывают, например, задачи, связанные с физической реальностью?

Физической реальности наиболее адекватно соответствует конструкция, согласно которой мы ни разу не сможем описать эту реальность здесь, сейчас и мгновенно. Но зато мы можем надеяться к ней сколь угодно при необходимости приблизиться. Т.е., собственно -- конструкция вещественных чисел, не более и не менее.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1416251 писал(а):

Это всего-навсего один из эквивалентных подходов. Да, эстетически могущий показаться кому-то странным. Но и наиболее лаконичный при изложении (а вот это уже объективно).

У меня к этому подходу только одна претензия - сложность при определении операций и порядка. Скажу честно, я не знаю как их определить, чтобы множество всех сечений в области рациональных чисел стало непрерывным упорядоченным полем. Имхо проще считать множеством вещественных чисел не все сечения в $\mathbb{Q}$, а только те, у которых нижний класс открыт. Или те множества $M$, которые я приводил в том посте.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1416255 писал(а):

У меня к этому подходу только одна претензия - сложность при определении операций и порядка.

Ну уж как минимум с отношением порядка нет никаких проблем -- оно определяется тупо вложенностью классов.

Со сложением тоже -- надо просто складывать те классы как множества.

С умножением, возможно, какие-то проблемы и есть. Но что они по сравнению с той морокой, которая возникает при попытке честной формализации бесконечных десятичных дробей (традиционно приписываемой Вейерштрассу?...)

-- Пт сен 20, 2019 23:28:15 --

oleg.k в сообщении #1416255 писал(а):

Имхо проще считать множеством вещественных чисел не все сечения в $\mathbb{Q}$, а только те, у которых нижний класс открыт.

Дело вкуса. Но, по-моему, это вредно. Т.е. вредно вообще стремление к абсолютной лаконичности. Лучше уж пусть словоизвержение будет немного избыточным, зато охватит все возможные сомнения. Но -- дело вкуса.