Кривизна пространства и неоднородность/анизотропия

[sergey zhukov]

Хотел бы разобрать вопрос о представлении искривленного пространства в римановой геометрии на примере проекции поверхности глобуса на плоскую карту.

1. Ни одна проекция глобуса на плоскость не может сохранить все расстояния. Для простоты разобьем поверхность глобуса на равные части. Достаточно будет правильного икосаэдра, спроецированного на сферу, т.е. 20 одинаковых треугольных областей. Тогда ни одна проекция глобуса на плоскость не может сделать так, чтобы все эти 20 областей, равных на глобусе, были бы равны и на плоскости. Так на плоской поверхности выражается свойство кривизны той поверхности, которую на нее проецируют: одинаковые обьекты на ней не выглядят одинаковыми. Поэтому любая проекция глобуса на плоскость приводит к тому, что однородное и изотропное пространство на глобусе становится не однородным и не изотропным на плоскости. Например, самолет, летящий вокруг света по меридиану, на глобусе имеет одинаковый размер и на экваторе и на полюсе. Но если рассмотреть его полет, например, на плоской цилиндрической равнопромежуточной проекции глобуса, то в полярных областях самолет становится шире, чем в экваториальных. Т.е. на плоской карте появляется функция (метрический тензор), которая описывает неоднородность и анизотропию пространства. Если мы хотим работать со сферой, как с плоскостью, нам придется принять, что размер и форма объектов при их перемещении и повороте не сохраняется. Кривизна пространства = его анизотропия + неоднородность.

2. Допустим, мы имеем цилиндрическую равнопромежуточную проекцию, на которой 20 треугольных областей неизбежно не равны. Можем ли мы ввести на плоскости такую сеть координат, внутри которой эти области стали бы равны? Т.е. можем ли мы компенсировать неравенство областей криволинейной сетью координат? Нет, т.к. если бы это оказалось возможно, то спроецировав этот результат обратно на глобус, мы получили бы сферу, всюду покрытую однородной прямоугольной сетью координат, что невозможно. Поэтому какую-бы систему координат на плоской проекции (прямоугольную, полярную, криволинейную) мы ни использовали, этим невозможно устранить тот факт, что размер и форма объектов при их перемещении и повороте не сохраняется.

3. Геометрия Римана сразу исходит из того, что дано пространство, анизотропия и неоднородность которого задается произвольным метрическим тензором. Проекцией какого однородного и изотропного пространства оно является и существует ли такое пространство вообще - это не имеет значения. Применительно, например, к глобусу, термин "кривизна пространства", который используется в геометрии Римана, подразумевает, что речь идет о геометрии на поверхности сферы, хотя скорее речь идет о геометрии в неоднородном и анизотропном пространстве.

Правильно ли считать, что кривизна пространства тождественна его неоднородности и анизотропии?

[Geen]

Сфера однородна и изотропна.

[sergey zhukov]

Но она ведь искривлена. Речь о том, что либо мы говорим об однородной и изотропной (в данном случае) кривой поверхности, либо о анизотропной и неоднородной плоской.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1415895 писал(а):

Для простоты разобьем поверхность глобуса на равные части. Достаточно будет правильного икосаэдра, спроецированного на сферу, т.е. 20 одинаковых треугольных областей. Тогда ни одна проекция глобуса на плоскость не может сделать так, чтобы все эти 20 областей, равных на глобусе, были бы равны и на плоскости.

Не знаю, в курсе ли вы, но существуют как раз картографические проекции, проецирующие все эти 20 областей одинаково.

-- 19.09.2019 13:34:57 --

sergey zhukov в сообщении #1415895 писал(а):

Правильно ли считать, что кривизна пространства тождественна его неоднородности и анизотропии?

Как видите, неправильно.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1415922 писал(а):

Не знаю, в курсе ли вы, но существуют как раз картографические проекции, проецирующие все эти 20 областей одинаково.

Окей, я слишком упростил пример, чтобы проблема стала очевиднее.
Неразрывной проекции, которая так отображает икосаэдр на плоскость я не встречал, но скорее всего она существует, т.к. подобная проекция существует для октаэдра - проекция Пирса.
Да, в ней действительно все восемь кусков сферической поверхности изображены равными кусками плоской поверхности. Но вы же понимаете, что эта проекция тоже не сохраняет все расстояния. Каждая проекция сохраняет в лучшем случае какие-то расстояния (например, вдоль меридиан), или какие-то углы (например, между параллелями и меридианами), но не все. Проекция Пирса не исключение. Она все равно переводит поверхность сферы в анизотропную и неоднородную плоскость.

[optimist]

Топология пространства и его изотропность/однородность это независимые свойства.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1415938 писал(а):

Окей, я слишком упростил пример, чтобы проблема стала очевиднее.

А не надо себе проблемы придумывать. И изобретать под них неправильные "примеры", которые ничего не дают.
А то ведь можно и плоскость куда-нибудь спроецировать...

[sergey zhukov]

Топология тут ни при чем, согласен.

Смысл же ясен: ни одна проекция глобуса на плоскость не сохраняет все расстояния между всеми точками. Значит, плоское пространство, отражающее сферическую поверхность, не может быть однородным и изотропным.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1415953 писал(а):

плоское пространство, отражающее сферическую поверхность, не может быть однородным и изотропным

Ну, это зависит от коэффициента отражения пространства. Если он близок к нулю, то почти может.

[sergey zhukov]

Я хотел только сказать, что искривленное пространство может быть рассмотрено на плоском при условии, что на этом плоском пространстве длина одной и той же линейки будет разной в разных точках и при разной ее ориентации. Применительно к карте мира, например, это функция масштаба карты от положения и направления.

Например, на карте мира пишут, скажем, "Масштаб 1см/140км". Что это значит? Что такой масштаб карта имеет только на одной конкретной линии (обычно вдоль экватора), а во всех остальных точках карты масштаб другой и зависит как от конкретной точки, так и от направления в этой точке. Учитывая, что большинство карт мира - это компромиссные проекции, которые в общем случае минимизируют суммарные искажения длин, углов и площадей (например, проекция Винкеля), указанный на карте масштаб вообще может относится только к одной точке на карте. Функция масштаба от положения и направления не может быть константой по всей карте независимо от способа проекции, это я и имел ввиду под анизотропией и неоднородностью.

Но дело, видимо, в том, что это свойство функции масштаба появляется не только из анизотропии и неоднородности пространства, а еще из анизотропии и неоднородности сетки координат, которую можно задать на этом пространстве. Сфера однородна и изотропна, а сеть координат на ней - нет. Получается так: Пространство $+$ сеть координат $=$ функция масштаба. Теперь, если нас интересуют абсолютные свойства пространства, то нужно рассмотреть некоторую комбинацию функции масштаба и сети координат (например, производной первого по второму), т.е. пространство $=$ функция масштаба $-$ сеть координат. Только эта комбинация (кривизна) дает свойства пространства, независимые от нашего произвольного выбора сетки координат. Соответственно, только по ее виду можно судить об однородности и изотропности пространства.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1416150 писал(а):

Я хотел только сказать, что искривленное пространство может быть рассмотрено на плоском при условии, что на этом плоском пространстве длина одной и той же линейки будет разной в разных точках и при разной ее ориентации.

Поздравляю, вы додумались до введения координат на многообразии.

[пианист]

Или пучков.
Пучки кошернее ;)

[Brukvalub]

sergey zhukov в сообщении #1416150 писал(а):

пространство $=$ функция масштаба $-$ сеть координат.

Какая изящная формула, все сразу прояснилось! Нужно записать и использовать на лекциях!

[sergey zhukov]

Brukvalub в сообщении #1416189 писал(а):

Нужно записать и использовать на лекциях!

На мой взгляд кое-что из этого действительно можно было бы использовать на лекциях (это я говорю, как возможный слушатель этих лекций). Например, что задать, скажем, произвольную искривленную поверхность в геометрии Римана - это значит нарисовать на плоскости любую сеть координат и задать в них любую функцию масштаба. Знать, как выглядит такая поверхность в трехмерном пространстве и существует ли она вообще, не нужно. Применительно к плоской проекции глобуса это значит, что достаточно иметь любую из нескольких десяткой его проекций и функцию масштаба для данной проекции, чтобы можно было забыть о форме глобуса и работать только с плоской картой. Информация о форме глобуса теперь содержится на плоскости и в функции масштаба.
Для данной кривой поверхности существует бесконечно много задающих ее пар "система-координат - функция масштаба". Свойство кривизны заданной поверхности проявляется в том, что ни в одной из этих пар функция масштаба не может выродиться в константу по всему пространству. Поэтому в отличии от плоского пространства, в котором выбором соответствующей сетки координат от функции масштаба можно избавится (такие координаты будут самыми простыми, выделенными), для кривого пространства от функции масштаба нельзя избавится, поэтому самых простых координат (выделенных) не будет.
Наличие и величина кривизны у заданной поверхности не очевидны, если на плоскости просто задана произвольная пара "система-координат - функция масштаба", т.к. не сразу понятно, является ли наличие функции масштаба следствием только использования криволинейных координат (в таком случае она устранима), или оно обусловлено еще и кривизной поверхности (тогда она не устранима).
Выражение для кривизны в каждой точке пространства содержит не только значение функции масштаба в этой точке, но и ее первые и вторые производные в заданной сетке координат. Таким образом, можно восстановить форму глобуса, если это необходимо.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1416342 писал(а):

задать, скажем, произвольную искривленную поверхность в геометрии Римана - это значит нарисовать на плоскости любую сеть координат и задать в них любую функцию масштаба.

Эта штука зовётся метрика и это не функция. Мне вот любопытно, долго вы собираетесь игнорировать результаты несколькосотлетний исследований?