2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение08.09.2019, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Однажды мне понадобилось аналитически сосчитать определитель матрицы, слабо отличающейся от единичной. И сочинил я следующее представление
$$\det \left( {{\mathbf{E}} + {\mathbf{A}}} \right) = 1 + a_1  + a_2  + a_3  + a_4  + ... \eqno(1)$$где величины $a_i$ вычисляются рекуррентно
$$\begin{gathered}  a_1  = \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} \hfill \\  a_2  = \frac{1}{2}\left( {a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2 } \right) \hfill \\  a_3  = \frac{1}{3}\left( {a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2  + \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3 } \right) \hfill \\  a_4  = \frac{1}{4}\left( {a_3 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2  + a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3  - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^4 } \right) \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}$$Ряд $(1)$ на самом деле содержит конечное число слагаемых, так как для произвольной матрицы размера $n \times n$ все $a$-шки обнуляются начиная по крайней мере с $a_{n + 1}$ (или ещё раньше). При этом сама матрица наверняка удовлетворяет уравнению
$${\mathbf{A}}^n  - a_1 {\mathbf{A}}^{n - 1}  + a_2 {\mathbf{A}}^{n - 2}  - a_3 {\mathbf{A}}^{n - 3}  + ... + ( - 1)^n a_n {\mathbf{E}} = 0$$или ещё какому-то, меньшей степени, из списка
$$\begin{gathered}  {\mathbf{A}} - a_1 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^2  - a_1 {\mathbf{A}} + a_2 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^3  - a_1 {\mathbf{A}}^2  + a_2 {\mathbf{A}} - a_3 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^4  - a_1 {\mathbf{A}}^3  + a_2 {\mathbf{A}}^2  - a_3 {\mathbf{A}} + a_4 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$Доказывать всё это я тогда не стал. Так, проверил правильность для разумных размеров и зафиксировал в памяти как "рецепт". Не то чтобы была какая-то реальная надобность в доказательстве для произвольных $n$ (при ручном труде терпение лопается уже на вполне скромных габаритах), но может есть элементарно простой способ это сделать? Я бы лучше запомнил такой способ, вместо "рецепта".

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение08.09.2019, 23:27 


10/03/16
3871
Aeroport
Утундрий

Нереально круто!!! А можете сказать, из каких предварительных соображений вы это получили? И ещё вопрос: там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?
Следы степеней матриц.
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
из каких предварительных соображений вы это получили?
Сначала для двойки-тройки попытался подобрать коэффициенты в линейной комбинации произведений следов с одинаковой суммарной степенью. Получилось. Повторил для 4 и 5 (уже в пакете). Обратно получилось. Потом подумалось, что без теоремы Гамильтона-Кэли тут не обошлось. Записал вон ту последнюю серию, ошпурил и вуаля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 00:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Faddeev–LeVerrier algorithm
Другая формулировка, если читать весь раздел «Linear algebra» здесь
(Ваше выражение — одно из значений характеристического многочлена $-A$.)

-- Пн сен 09, 2019 02:44:50 --

Более подробное изложение можно найти в Winitzki Sergei. Linear algebra via exterior products, 4.2.3 (алгоритм), 3.9 (связь с характеристическим многочленом), 3.8 (след), 3.7 (действия операторов на внешних степенях), 3.3 (определитель и верхняя внешняя степень).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
То есть это широко известный в узких кругах (и многократно доказанный) алгоритм Фаддеева – ЛеВерье. Но всё же любопытно было бы взглянуть на доказательство Хоу [7].

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9492
Москва
Что-то мне последовательность коэффициентов напоминает ряд для логарифма. А след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Евгений Машеров в сообщении #1414205 писал(а):
след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...
Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9492
Москва
http://scask.ru/f_book_sm_math32.php?id=94

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Какое-то немое кино... В общем, по ссылке выше просматривается матричный степенной ряд, иногда сходящийся к матричному логарифму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение12.09.2019, 19:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #1414250 писал(а):
Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

Это невозможно по тривиальным причинам -- невозможно вообще найти функцию вообще от матрицы вообще (я уж не говорю о неоднозначности логарифма).

Но вот если есть жорданово представление матрицы, то логарифм от неё (на основе тейлорового ряда) выписывается очень легко и вполне обозримо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group