Об одном способе посчитать определитель одной матрицы

[Утундрий]

Однажды мне понадобилось аналитически сосчитать определитель матрицы, слабо отличающейся от единичной. И сочинил я следующее представление

$$\det \left( {{\mathbf{E}} + {\mathbf{A}}} \right) = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... \eqno(1)$$

где величины $a_i$ вычисляются рекуррентно

$$\begin{gathered} a_1 = \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} \hfill \\ a_2 = \frac{1}{2}\left( {a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2 } \right) \hfill \\ a_3 = \frac{1}{3}\left( {a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2 + \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3 } \right) \hfill \\ a_4 = \frac{1}{4}\left( {a_3 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2 + a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3 - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^4 } \right) \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}$$

Ряд $(1)$ на самом деле содержит конечное число слагаемых, так как для произвольной матрицы размера $n \times n$ все $a$-шки обнуляются начиная по крайней мере с $a_{n + 1}$ (или ещё раньше). При этом сама матрица наверняка удовлетворяет уравнению

$${\mathbf{A}}^n - a_1 {\mathbf{A}}^{n - 1} + a_2 {\mathbf{A}}^{n - 2} - a_3 {\mathbf{A}}^{n - 3} + ... + ( - 1)^n a_n {\mathbf{E}} = 0$$

или ещё какому-то, меньшей степени, из списка

$$\begin{gathered} {\mathbf{A}} - a_1 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ {\mathbf{A}}^2 - a_1 {\mathbf{A}} + a_2 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ {\mathbf{A}}^3 - a_1 {\mathbf{A}}^2 + a_2 {\mathbf{A}} - a_3 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ {\mathbf{A}}^4 - a_1 {\mathbf{A}}^3 + a_2 {\mathbf{A}}^2 - a_3 {\mathbf{A}} + a_4 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$

Доказывать всё это я тогда не стал. Так, проверил правильность для разумных размеров и зафиксировал в памяти как "рецепт". Не то чтобы была какая-то реальная надобность в доказательстве для произвольных $n$ (при ручном труде терпение лопается уже на вполне скромных габаритах), но может есть элементарно простой способ это сделать? Я бы лучше запомнил такой способ, вместо "рецепта".

[ozheredov]

Утундрий

Нереально круто!!! А можете сказать, из каких предварительных соображений вы это получили? И ещё вопрос: там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?

[Утундрий]

ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):

там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?

Следы степеней матриц.

ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):

из каких предварительных соображений вы это получили?

Сначала для двойки-тройки попытался подобрать коэффициенты в линейной комбинации произведений следов с одинаковой суммарной степенью. Получилось. Повторил для 4 и 5 (уже в пакете). Обратно получилось. Потом подумалось, что без теоремы Гамильтона-Кэли тут не обошлось. Записал вон ту последнюю серию, ошпурил и вуаля.

[arseniiv]

Faddeev–LeVerrier algorithm
Другая формулировка, если читать весь раздел «Linear algebra» здесь
(Ваше выражение — одно из значений характеристического многочлена $-A$.)

-- Пн сен 09, 2019 02:44:50 --

Более подробное изложение можно найти в Winitzki Sergei. Linear algebra via exterior products, 4.2.3 (алгоритм), 3.9 (связь с характеристическим многочленом), 3.8 (след), 3.7 (действия операторов на внешних степенях), 3.3 (определитель и верхняя внешняя степень).

[Утундрий]

То есть это широко известный в узких кругах (и многократно доказанный) алгоритм Фаддеева – ЛеВерье. Но всё же любопытно было бы взглянуть на доказательство Хоу [7].

[Евгений Машеров]

Что-то мне последовательность коэффициентов напоминает ряд для логарифма. А след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...

[Утундрий]

Евгений Машеров в сообщении #1414205 писал(а):

след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...

Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

[Евгений Машеров]

http://scask.ru/f_book_sm_math32.php?id=94

[Утундрий]

Какое-то немое кино... В общем, по ссылке выше просматривается матричный степенной ряд, иногда сходящийся к матричному логарифму.

[ewert]

Утундрий в сообщении #1414250 писал(а):

Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

Это невозможно по тривиальным причинам -- невозможно вообще найти функцию вообще от матрицы вообще (я уж не говорю о неоднозначности логарифма).

Но вот если есть жорданово представление матрицы, то логарифм от неё (на основе тейлорового ряда) выписывается очень легко и вполне обозримо.