2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение08.09.2019, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Однажды мне понадобилось аналитически сосчитать определитель матрицы, слабо отличающейся от единичной. И сочинил я следующее представление
$$\det \left( {{\mathbf{E}} + {\mathbf{A}}} \right) = 1 + a_1  + a_2  + a_3  + a_4  + ... \eqno(1)$$где величины $a_i$ вычисляются рекуррентно
$$\begin{gathered}  a_1  = \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} \hfill \\  a_2  = \frac{1}{2}\left( {a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2 } \right) \hfill \\  a_3  = \frac{1}{3}\left( {a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2  + \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3 } \right) \hfill \\  a_4  = \frac{1}{4}\left( {a_3 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}} - a_2 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^2  + a_1 \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^3  - \operatorname{Sp} {\mathbf{A}}^4 } \right) \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}$$Ряд $(1)$ на самом деле содержит конечное число слагаемых, так как для произвольной матрицы размера $n \times n$ все $a$-шки обнуляются начиная по крайней мере с $a_{n + 1}$ (или ещё раньше). При этом сама матрица наверняка удовлетворяет уравнению
$${\mathbf{A}}^n  - a_1 {\mathbf{A}}^{n - 1}  + a_2 {\mathbf{A}}^{n - 2}  - a_3 {\mathbf{A}}^{n - 3}  + ... + ( - 1)^n a_n {\mathbf{E}} = 0$$или ещё какому-то, меньшей степени, из списка
$$\begin{gathered}  {\mathbf{A}} - a_1 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^2  - a_1 {\mathbf{A}} + a_2 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^3  - a_1 {\mathbf{A}}^2  + a_2 {\mathbf{A}} - a_3 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\  {\mathbf{A}}^4  - a_1 {\mathbf{A}}^3  + a_2 {\mathbf{A}}^2  - a_3 {\mathbf{A}} + a_4 {\mathbf{E}} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$Доказывать всё это я тогда не стал. Так, проверил правильность для разумных размеров и зафиксировал в памяти как "рецепт". Не то чтобы была какая-то реальная надобность в доказательстве для произвольных $n$ (при ручном труде терпение лопается уже на вполне скромных габаритах), но может есть элементарно простой способ это сделать? Я бы лучше запомнил такой способ, вместо "рецепта".

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение08.09.2019, 23:27 


10/03/16
1369
Aeroport
Утундрий

Нереально круто!!! А можете сказать, из каких предварительных соображений вы это получили? И ещё вопрос: там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
там (следы матриц) (в степени) или следы степеней матриц?
Следы степеней матриц.
ozheredov в сообщении #1414180 писал(а):
из каких предварительных соображений вы это получили?
Сначала для двойки-тройки попытался подобрать коэффициенты в линейной комбинации произведений следов с одинаковой суммарной степенью. Получилось. Повторил для 4 и 5 (уже в пакете). Обратно получилось. Потом подумалось, что без теоремы Гамильтона-Кэли тут не обошлось. Записал вон ту последнюю серию, ошпурил и вуаля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Faddeev–LeVerrier algorithm
Другая формулировка, если читать весь раздел «Linear algebra» здесь
(Ваше выражение — одно из значений характеристического многочлена $-A$.)

-- Пн сен 09, 2019 02:44:50 --

Более подробное изложение можно найти в Winitzki Sergei. Linear algebra via exterior products, 4.2.3 (алгоритм), 3.9 (связь с характеристическим многочленом), 3.8 (след), 3.7 (действия операторов на внешних степенях), 3.3 (определитель и верхняя внешняя степень).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
То есть это широко известный в узких кругах (и многократно доказанный) алгоритм Фаддеева – ЛеВерье. Но всё же любопытно было бы взглянуть на доказательство Хоу [7].

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7063
Москва
Что-то мне последовательность коэффициентов напоминает ряд для логарифма. А след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Евгений Машеров в сообщении #1414205 писал(а):
след логарифма матрицы будет логарифм определителя матрицы...
Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7063
Москва
http://scask.ru/f_book_sm_math32.php?id=94

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение09.09.2019, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Какое-то немое кино... В общем, по ссылке выше просматривается матричный степенной ряд, иногда сходящийся к матричному логарифму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном способе посчитать определитель одной матрицы
Сообщение12.09.2019, 19:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Утундрий в сообщении #1414250 писал(а):
Осталось быстро и просто найти логарифм матрицы...

Это невозможно по тривиальным причинам -- невозможно вообще найти функцию вообще от матрицы вообще (я уж не говорю о неоднозначности логарифма).

Но вот если есть жорданово представление матрицы, то логарифм от неё (на основе тейлорового ряда) выписывается очень легко и вполне обозримо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group