2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 15:41 


14/09/16
280
Добрый день! Имеется интеграл.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$
не могу понять какую замену делать.
преобразовал , привел к виду.
$\int\frac{(1+x^{4/5})^{1/3}}{x^{31/15}}dx$
в числителе и знаменателе сидят степени $\frac{1}{15}$
пробовал сделать разные замены, но ничего толкового не получилось.
например если
$t=1+x^{4/5}$
пришел к такому интегралу
$\int t^{1/3} (t-1)^{-7/3}dt$
какую замену сделать? какая удобней. или может я неправильно начал с начала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 15:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Дифференциальный бином не пробовали почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 16:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В таких случаях надо в качестве новой переменной брать или $\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}$, или $\sqrt[3]{x^{-\frac45}+1}$ (то, что получается после вынесения $\sqrt[5]{x^4}$ за знак внешнего корня). Если ни одна из этих замен не помогает, то и ничего не поможет, т.е. интеграл не берётся. Смысл теоремы Чебышёва ровно в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:02 


14/09/16
280
спасибо за ответы.
но у меня не получается довести до конечного результата. Распишу подробней.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$


$t=\sqrt[3]{1+x^{4/5}}$; $t^3={1+x^{4/5}}$

$3t^2dt=\frac{4dx}{x^{1/5}}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 x^{1/5}dt$

$x^{1/5}=(t^3-1)^\frac{1}{4}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 (t^3-1)^\frac{1}{4} dt$

$x^\frac{31}{15}=(t^3-1)^\frac{31}{12}$
собирая данные, получаем

$\frac{15}{4}\int\frac{t^3 (t^3-1)^\frac{1}{4}}{(t^3-1)^\frac{31}{12}}dt$

сократил, и в итоге получил

$\frac{15}{4}\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

дальше беру интеграл

$\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.
$m=3. a=1,n=3,b=-1,p=-\frac{7}{3}$
$\frac{m+1}{n}+p=-2$ Целое число.
следовательно делаю замену.
$t^3-1=u^3 t^3$
пока до текущего момента есть ли ошибки?
смотрел в Фихтенгольце, но там на одном примере не могу точно понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ivan 09
Это двойная работа. Делайте нужную замену с самого начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ivan 09 в сообщении #1412148 писал(а):
как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.

Тут ничего нового не требуется -- полученное выражение принципиально ничем не лучше исходного.

Значит, пробуйте другую из предложенных двух замен. Если этот интеграл берётся, то после всех аккуратных подстановок иррациональности должны исчезнуть (раз они не исчезли после первого способа).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group