Интеграл. дробь с корнями.

[Ivan 09]

Добрый день! Имеется интеграл.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$
не могу понять какую замену делать.
преобразовал , привел к виду.
$\int\frac{(1+x^{4/5})^{1/3}}{x^{31/15}}dx$
в числителе и знаменателе сидят степени $\frac{1}{15}$
пробовал сделать разные замены, но ничего толкового не получилось.
например если
$t=1+x^{4/5}$
пришел к такому интегралу
$\int t^{1/3} (t-1)^{-7/3}dt$
какую замену сделать? какая удобней. или может я неправильно начал с начала?

[Otta]

Дифференциальный бином не пробовали почитать?

[ewert]

В таких случаях надо в качестве новой переменной брать или $\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}$, или $\sqrt[3]{x^{-\frac45}+1}$ (то, что получается после вынесения $\sqrt[5]{x^4}$ за знак внешнего корня). Если ни одна из этих замен не помогает, то и ничего не поможет, т.е. интеграл не берётся. Смысл теоремы Чебышёва ровно в этом.

[Ivan 09]

спасибо за ответы.
но у меня не получается довести до конечного результата. Распишу подробней.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$


$t=\sqrt[3]{1+x^{4/5}}$; $t^3={1+x^{4/5}}$

$3t^2dt=\frac{4dx}{x^{1/5}}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 x^{1/5}dt$

$x^{1/5}=(t^3-1)^\frac{1}{4}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 (t^3-1)^\frac{1}{4} dt$

$x^\frac{31}{15}=(t^3-1)^\frac{31}{12}$
собирая данные, получаем

$\frac{15}{4}\int\frac{t^3 (t^3-1)^\frac{1}{4}}{(t^3-1)^\frac{31}{12}}dt$

сократил, и в итоге получил

$\frac{15}{4}\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

дальше беру интеграл

$\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.
$m=3. a=1,n=3,b=-1,p=-\frac{7}{3}$
$\frac{m+1}{n}+p=-2$ Целое число.
следовательно делаю замену.
$t^3-1=u^3 t^3$
пока до текущего момента есть ли ошибки?
смотрел в Фихтенгольце, но там на одном примере не могу точно понять.

[Otta]

Ivan 09
Это двойная работа. Делайте нужную замену с самого начала.

[ewert]

Ivan 09 в сообщении #1412148 писал(а):

как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.

Тут ничего нового не требуется -- полученное выражение принципиально ничем не лучше исходного.

Значит, пробуйте другую из предложенных двух замен. Если этот интеграл берётся, то после всех аккуратных подстановок иррациональности должны исчезнуть (раз они не исчезли после первого способа).