2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 15:41 
Добрый день! Имеется интеграл.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$
не могу понять какую замену делать.
преобразовал , привел к виду.
$\int\frac{(1+x^{4/5})^{1/3}}{x^{31/15}}dx$
в числителе и знаменателе сидят степени $\frac{1}{15}$
пробовал сделать разные замены, но ничего толкового не получилось.
например если
$t=1+x^{4/5}$
пришел к такому интегралу
$\int t^{1/3} (t-1)^{-7/3}dt$
какую замену сделать? какая удобней. или может я неправильно начал с начала?

 
 
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 15:45 
Дифференциальный бином не пробовали почитать?

 
 
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение25.08.2019, 16:02 
В таких случаях надо в качестве новой переменной брать или $\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}$, или $\sqrt[3]{x^{-\frac45}+1}$ (то, что получается после вынесения $\sqrt[5]{x^4}$ за знак внешнего корня). Если ни одна из этих замен не помогает, то и ничего не поможет, т.е. интеграл не берётся. Смысл теоремы Чебышёва ровно в этом.

 
 
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:02 
спасибо за ответы.
но у меня не получается довести до конечного результата. Распишу подробней.
$\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2 \sqrt[15]{x}}dx$


$t=\sqrt[3]{1+x^{4/5}}$; $t^3={1+x^{4/5}}$

$3t^2dt=\frac{4dx}{x^{1/5}}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 x^{1/5}dt$

$x^{1/5}=(t^3-1)^\frac{1}{4}$

$dx=\frac{15}{4}t^2 (t^3-1)^\frac{1}{4} dt$

$x^\frac{31}{15}=(t^3-1)^\frac{31}{12}$
собирая данные, получаем

$\frac{15}{4}\int\frac{t^3 (t^3-1)^\frac{1}{4}}{(t^3-1)^\frac{31}{12}}dt$

сократил, и в итоге получил

$\frac{15}{4}\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

дальше беру интеграл

$\int t^3 (t^3-1)^\frac{-7}{3}dt$

как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.
$m=3. a=1,n=3,b=-1,p=-\frac{7}{3}$
$\frac{m+1}{n}+p=-2$ Целое число.
следовательно делаю замену.
$t^3-1=u^3 t^3$
пока до текущего момента есть ли ошибки?
смотрел в Фихтенгольце, но там на одном примере не могу точно понять.

 
 
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:19 
Ivan 09
Это двойная работа. Делайте нужную замену с самого начала.

 
 
 
 Re: Интеграл. дробь с корнями.
Сообщение26.08.2019, 17:23 
Ivan 09 в сообщении #1412148 писал(а):
как я понимаю тут использоваться должна третья подстановка Чебышева.

Тут ничего нового не требуется -- полученное выражение принципиально ничем не лучше исходного.

Значит, пробуйте другую из предложенных двух замен. Если этот интеграл берётся, то после всех аккуратных подстановок иррациональности должны исчезнуть (раз они не исчезли после первого способа).

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group