2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 01:01 


22/09/18
44
В учебниках по методам вычислений приводят такую формулу для оценки абсолютной погрешности значения функции $\Delta f(x) = |f'(x)|\Delta x$. Но ведь $f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x + o(\Delta x)$, причем о величине $o(\Delta x)$ ничего сказать нельзя. Не понятно, каков статус этой приблизительной оценки. Как сформулировать определение, чтоб было более менее математично?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
andreyka в сообщении #1411219 писал(а):
В учебниках по методам вычислений приводят такую формулу

Интересно, в каких именно учебниках? Вы можете назвать авторов, название учебника, издательство, год выпуска?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 01:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
andreyka в сообщении #1411219 писал(а):
причем о величине $o(\Delta x)$ ничего сказать нельзя

Ну почему же ничего - это ж о-малое от дельта-икс! И, значит, ошибка действртельно будет мало отличаться от выписанной Вами - при условии, что само дельта-икс достаточно мало, а призводная не равна нулю...
Лукавство такого утверждения понятно: все проблемы спрятали в "достаточно мало". А вот конкретное дельта-икс, равное 0.01 - оно мало достаточно или нет?
Честные учебники пишут честно:
$\left\lvert  \Delta f(x)\right\rvert\leqslant C\left\lvert \Delta x\right\rvert$ при $\left\lvert \Delta x\right\rvert < \varepsilon$ и $C= \sup\limits_{\left\lvert t-x\right\rvert < \varepsilon} \left\lvert f'(t)\right\rvert$
Только формула больно сложная, не во всякие прикладные мозги помещается...Вот ее и заменяют простой (хотя и не шибко правильной)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 01:40 


22/09/18
44
Brukvalub в сообщении #1411221 писал(а):
Интересно, в каких именно учебниках? Вы можете назвать авторов, название учебника, издательство, год выпуска?

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
Изображение

Даже для произведения дают приближенную ничем не обоснованную оценку
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы правы, все это выглядит просто омерзительно! Ведь еще В.И. Ленин на 126 стр. 37-го т. своего ПСС учил: "Всякое приближенное вычисление лишь тогда чего-нибудь стОит, когда оценена точность использованного приближения!" А процитированный Вами текст может быть оценен только как левый уклонизм в теории приближенных вычислений и должен быть вамаран цензурой из учебника!

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 02:13 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
andreyka в сообщении #1411219 писал(а):
Не понятно, каков статус этой приблизительной оценки.
В общем-то в приведенном скриншоте это написано: "Обычно на практике...". Более математично можно (DeBill уже написал, как), но с точки зрения приложений это почти бесполезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 03:13 
Аватара пользователя


24/03/19
147
Brukvalub в сообщении #1411227 писал(а):
А процитированный Вами текст может быть оценен только как левый уклонизм в теории приближенных вычислений и должен быть вамаран цензурой из учебника!

Тогда вымарать придется и Фихтенгольца: когда он рассматривает вопрос вычисления $y=f(x)$ при $x,$ измеренном с погрешностью $\Delta x,$ в параграфе "108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей", он пишет
Цитата:
...Ввиду малой величины этих погрешностей, полагают $$\Delta y = y'_x\cdot \Delta x,$$ т.е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть $\delta x$ будет максимальной абсолютной погрешностью величины $x\colon |\Delta x| \le \delta x$ (в обычных условиях подобная граница погрешности при измерении известна). Тогда, очевидно, за максимальную абсолютную погрешность (границу погрешности) для $y$ можно принять $$\delta y = |y'_x|\cdot \delta x.$$

В Демидовиче, Мароне присутствует марафет $-$ они говорят о "предельных" погрешностях, так что обошлось не без попытки соблюсти математический аккурат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SiberianSemion в сообщении #1411235 писал(а):
Тогда вымарать придется и Фихтенгольца

Так я при чтении студентам лекций давно все это вымарал: я вынужден рассказывать, что дремучие прикладники применяют для приближенных вычислений дифференциал, но правильно применять его в рамках формулы Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение20.08.2019, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
На самом деле это вопрос о "допустимом уровне халтуры". Возникающий при любом практическом применении строго обоснованных методов. Потому как вовсе без халтуры ничего сделать вообще не выйдет, а когда уровень халтуры достигает некоего уровня, сделанное никуда не годится.
Строгая оценка - через ряд Тейлора и оценки для него. Практик утомлён вычислением уже первой производной, и надеется, что при столь малой, как у него, погрешности аргумента и разумных значениях последующих производных, он вправе отбросить все последующие члены, яко малые. Оценок для производных у него нет, кроме наработанной опытом интуиции. Которая правильно почти всегда. Почти.
Если понимать, что это халтура и здраво оценивать, насколько халтура - результат будет разумным. Почти всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение21.08.2019, 00:36 


22/09/18
44
DeBill в сообщении #1411223 писал(а):
Честные учебники пишут честно:
$\left\lvert  \Delta f(x)\right\rvert\leqslant C\left\lvert \Delta x\right\rvert$ при $\left\lvert \Delta x\right\rvert < \varepsilon$ и $C= \sup\limits_{\left\lvert t-x\right\rvert < \varepsilon} \left\lvert f'(t)\right\rvert$
Только формула больно сложная, не во всякие прикладные мозги помещается...Вот ее и заменяют простой (хотя и не шибко правильной)...
Не подскажете, в каких именно учебниках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение21.08.2019, 04:23 
Аватара пользователя


24/03/19
147
andreyka, судя по вашим сообщениям, вы уже ознакомлены с учебниками Зорича и Фихтенгольца. Посмотрите, как они оценивают остатки в формуле Тейлора. Наверняка в примерах встречаются разложения функций (экспоненты, например) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, где фигурирует $f^{(n)}(\xi).$ Для получения нужной оценки надо ограничить эту величину сверху, т.е. получить что-то типа $|f^{(n)}(\xi)| \le C,$ о чём и вел речь DeBill.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение21.08.2019, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SiberianSemion в сообщении #1411356 писал(а):
Наверняка в примерах встречаются разложения функций (экспоненты, например) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,
Не нужно путать формулу Тейлора и ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение21.08.2019, 11:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Дело в том, что термин "ряд" неоднозначен. В принципе, формула Тейлора -- это тоже ряд, только асимптотический. Другое дело, что авторы, легкомысленно применяющие термин "ряд" применительно к формуле, о таких нюансах не только не предупреждают читателей, но даже и не задумываются. Вопиющее разгильдяйство, за которое следует расстреливать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение21.08.2019, 17:37 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
andreyka в сообщении #1411333 писал(а):
Не подскажете, в каких именно учебниках?

Ну да, я имел в виду учебники по матану...
Формула приведенная есть простое следствие одной из первых теорем курса дифф. исчисления ( теорема Лагранжа о конечном приращении). В многомерном случае (надо везде модули заменить нормами) формула называется "формула конечных приращений".

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления функций
Сообщение01.09.2019, 12:54 


22/09/18
44
В задачнике встречается понятие линейная погрешность. Правильно я понимаю, что линейная погрешность определяется как отклонение значения функции $y^*=f(x^*)$ от касательной в точке $x^*$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group