Погрешность вычисления функций

[andreyka]

В учебниках по методам вычислений приводят такую формулу для оценки абсолютной погрешности значения функции $\Delta f(x) = |f'(x)|\Delta x$. Но ведь $f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x + o(\Delta x)$, причем о величине $o(\Delta x)$ ничего сказать нельзя. Не понятно, каков статус этой приблизительной оценки. Как сформулировать определение, чтоб было более менее математично?

[Brukvalub]

andreyka в сообщении #1411219 писал(а):

В учебниках по методам вычислений приводят такую формулу

Интересно, в каких именно учебниках? Вы можете назвать авторов, название учебника, издательство, год выпуска?

[DeBill]

andreyka в сообщении #1411219 писал(а):

причем о величине $o(\Delta x)$ ничего сказать нельзя

Ну почему же ничего - это ж о-малое от дельта-икс! И, значит, ошибка действртельно будет мало отличаться от выписанной Вами - при условии, что само дельта-икс достаточно мало, а призводная не равна нулю...
Лукавство такого утверждения понятно: все проблемы спрятали в "достаточно мало". А вот конкретное дельта-икс, равное 0.01 - оно мало достаточно или нет?
Честные учебники пишут честно:
$\left\lvert \Delta f(x)\right\rvert\leqslant C\left\lvert \Delta x\right\rvert$ при $\left\lvert \Delta x\right\rvert < \varepsilon$ и $C= \sup\limits_{\left\lvert t-x\right\rvert < \varepsilon} \left\lvert f'(t)\right\rvert$
Только формула больно сложная, не во всякие прикладные мозги помещается...Вот ее и заменяют простой (хотя и не шибко правильной)...

[andreyka]

Brukvalub в сообщении #1411221 писал(а):

Интересно, в каких именно учебниках? Вы можете назвать авторов, название учебника, издательство, год выпуска?

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.


Даже для произведения дают приближенную ничем не обоснованную оценку

[Brukvalub]

Вы правы, все это выглядит просто омерзительно! Ведь еще В.И. Ленин на 126 стр. 37-го т. своего ПСС учил: "Всякое приближенное вычисление лишь тогда чего-нибудь стОит, когда оценена точность использованного приближения!" А процитированный Вами текст может быть оценен только как левый уклонизм в теории приближенных вычислений и должен быть вамаран цензурой из учебника!

[Pphantom]

andreyka в сообщении #1411219 писал(а):

Не понятно, каков статус этой приблизительной оценки.

В общем-то в приведенном скриншоте это написано: "Обычно на практике...". Более математично можно (DeBill уже написал, как), но с точки зрения приложений это почти бесполезно.

[SiberianSemion]

Brukvalub в сообщении #1411227 писал(а):

А процитированный Вами текст может быть оценен только как левый уклонизм в теории приближенных вычислений и должен быть вамаран цензурой из учебника!

Тогда вымарать придется и Фихтенгольца: когда он рассматривает вопрос вычисления $y=f(x)$ при $x,$ измеренном с погрешностью $\Delta x,$ в параграфе "108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей", он пишет

Цитата:

...Ввиду малой величины этих погрешностей, полагают

$$\Delta y = y'_x\cdot \Delta x,$$

т.е. заменяют приращение дифференциалом. Пусть $\delta x$ будет максимальной абсолютной погрешностью величины $x\colon |\Delta x| \le \delta x$ (в обычных условиях подобная граница погрешности при измерении известна). Тогда, очевидно, за максимальную абсолютную погрешность (границу погрешности) для $y$ можно принять

$$\delta y = |y'_x|\cdot \delta x.$$

В Демидовиче, Мароне присутствует марафет $-$ они говорят о "предельных" погрешностях, так что обошлось не без попытки соблюсти математический аккурат.

[Brukvalub]

SiberianSemion в сообщении #1411235 писал(а):

Тогда вымарать придется и Фихтенгольца

Так я при чтении студентам лекций давно все это вымарал: я вынужден рассказывать, что дремучие прикладники применяют для приближенных вычислений дифференциал, но правильно применять его в рамках формулы Тейлора.

[Евгений Машеров]

На самом деле это вопрос о "допустимом уровне халтуры". Возникающий при любом практическом применении строго обоснованных методов. Потому как вовсе без халтуры ничего сделать вообще не выйдет, а когда уровень халтуры достигает некоего уровня, сделанное никуда не годится.
Строгая оценка - через ряд Тейлора и оценки для него. Практик утомлён вычислением уже первой производной, и надеется, что при столь малой, как у него, погрешности аргумента и разумных значениях последующих производных, он вправе отбросить все последующие члены, яко малые. Оценок для производных у него нет, кроме наработанной опытом интуиции. Которая правильно почти всегда. Почти.
Если понимать, что это халтура и здраво оценивать, насколько халтура - результат будет разумным. Почти всегда.

[andreyka]

DeBill в сообщении #1411223 писал(а):

Честные учебники пишут честно:
$\left\lvert \Delta f(x)\right\rvert\leqslant C\left\lvert \Delta x\right\rvert$ при $\left\lvert \Delta x\right\rvert < \varepsilon$ и $C= \sup\limits_{\left\lvert t-x\right\rvert < \varepsilon} \left\lvert f'(t)\right\rvert$
Только формула больно сложная, не во всякие прикладные мозги помещается...Вот ее и заменяют простой (хотя и не шибко правильной)...

Не подскажете, в каких именно учебниках?

[SiberianSemion]

andreyka, судя по вашим сообщениям, вы уже ознакомлены с учебниками Зорича и Фихтенгольца. Посмотрите, как они оценивают остатки в формуле Тейлора. Наверняка в примерах встречаются разложения функций (экспоненты, например) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, где фигурирует $f^{(n)}(\xi).$ Для получения нужной оценки надо ограничить эту величину сверху, т.е. получить что-то типа $|f^{(n)}(\xi)| \le C,$ о чём и вел речь DeBill.

[Brukvalub]

SiberianSemion в сообщении #1411356 писал(а):

Наверняка в примерах встречаются разложения функций (экспоненты, например) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,

Не нужно путать формулу Тейлора и ряд Тейлора.

[ewert]

Дело в том, что термин "ряд" неоднозначен. В принципе, формула Тейлора -- это тоже ряд, только асимптотический. Другое дело, что авторы, легкомысленно применяющие термин "ряд" применительно к формуле, о таких нюансах не только не предупреждают читателей, но даже и не задумываются. Вопиющее разгильдяйство, за которое следует расстреливать.

[DeBill]

andreyka в сообщении #1411333 писал(а):

Не подскажете, в каких именно учебниках?

Ну да, я имел в виду учебники по матану...
Формула приведенная есть простое следствие одной из первых теорем курса дифф. исчисления ( теорема Лагранжа о конечном приращении). В многомерном случае (надо везде модули заменить нормами) формула называется "формула конечных приращений".

[andreyka]

В задачнике встречается понятие линейная погрешность. Правильно я понимаю, что линейная погрешность определяется как отклонение значения функции $y^*=f(x^*)$ от касательной в точке $x^*$?