Равномерная непрерывность функции

[oleg.k]

Я не понимаю 2 вещи, касающиеся равномерной непрерывности.

1.

Зорич писал(а):

Определение 1. Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E \subset \mathbb{R}$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется число $\delta > 0$ такое, что для любых точек $x_1, x_2 \in E$ таких, что $|x_1 - x_2| < \delta$, выполнено $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$.

Согласно определению Зорича, функция равномерно непрерывна "вся сразу". Иными словами, по Зоричу нельзя рассматривать "равномерную непрерывность функции $f$ на множестве $M \subset E$". Зачем тогда слова "на множестве $E \subset \mathbb{R}$" в определении? Можно ли их проигнорировать? Т.е. можно ли просто написать: "Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной, если..."?


2. Зорич иногда почему-то искусственно немного сужает область применимости некоторых определений. Например:

Зорич писал(а):

Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется непрерывной на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке множества $E$.

Согласно этому определению функция Римана не является непрерывной на множестве иррациональных чисел, т.к. ее область определения - не иррациональные числа, а действительные. Понятно, что это не является большой проблемой и можно сформулировать общепринятое определение непрерывности функции на множестве

Общепринятое писал(а):

Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется непрерывной на множестве $M \subset E$, если она непрерывна в каждой точке множества $M$.

Меня этот момент особо не волновал до тех пор, пока я не начал читать про равномерную непрерывность. Я подумал: раз Зорич сузил определение непрерывности по множеству, то может быть он сузил и определение равномерной непрерывности по множеству. Я попытался сформулировать определение равномерной непрерывности функции по множеству, но оно привело к бреду. В связи с этим вопрос: верно ли, что никакой "равномерной непрерывности функции $f: E\to \mathbb{R}$ на множестве $M \subset E$" нету? Иными словами, верно ли, что сформулировать содержательное определение равномерной непрерывности по множеству нельзя?

[demolishka]

oleg.k, Вы понимаете, что функции $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin(x)$, и $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=\sin(x)$, — это разные функции?

[oleg.k]

demolishka в сообщении #1411324 писал(а):

oleg.k, Вы понимаете, что функции $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin(x)$, и $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=\sin(x)$, — это разные функции?

Да, понимаю, но это вы простите к чему?

[demolishka]

oleg.k в сообщении #1411326 писал(а):

к чему?

Если Вам нужно какое-то свойство функции $f \colon E \to \mathbb{R}$ на подмножестве $M \subset E$, ну так рассматривайте ее как функцию $f \colon M \to \mathbb{R}$. В чем проблема?

[oleg.k]

demolishka в сообщении #1411328 писал(а):

Если Вам нужно какое-то свойство функции $f \colon E \to \mathbb{R}$ на подмножестве $M \subset E$, ну так рассматривайте ее как функцию $f \colon M \to \mathbb{R}$.

Напишите строго это определение "равномерной непрерывности по множеству" и вы сами поймете, почему оно является бредом.

[demolishka]

oleg.k в сообщении #1411329 писал(а):

Напишите строго это определение "равномерной непрерывности по множеству" и вы сами поймете, почему оно является бредом.

Я надеюсь, что заменить букву $E$ на букву $M$ в определении Зорича Вам подсилу.

[oleg.k]

demolishka в сообщении #1411331 писал(а):

Я надеюсь, что заменить букву $E$ на букву $M$ в определении Зорича Вам подсилу.

Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $M \subset E$ если на этом множестве $M$ равномерно непрерывно ее сужение $f_M: M \to \mathbb{R}$. Так по-вашему?

[demolishka]

oleg.k в сообщении #1411332 писал(а):

Так по-вашему?

Да.

[oleg.k]

demolishka в сообщении #1411334 писал(а):

Да.

Значит, то что функция Дирихле всюду разрывна, но равномерно непрерывна на множестве рациональных чисел вас устраивает? И как тогда быть с тем, что Зорич пишет на странице 189

Зорич писал(а):

Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке.

Забудем про это?

[demolishka]

oleg.k в сообщении #1411335 писал(а):

Значит, то что функция Дирихле всюду разрывна, но равномерно непрерывна на множестве рациональных чисел вас устраивает?

Меня устраивает. И устраивает всех, кто понимает

demolishka в сообщении #1411324 писал(а):

что функции $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin(x)$, и $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=\sin(x)$, — это разные функции

[Lia]

oleg.k, строгое предупреждение за двойную регистрацию.
Предыдущий аккаунт, Nickname1101, в связи с этим блокируется бессрочно.

[oleg.k]

Lia

(Оффтоп)

Я уже писал вам в лс, что забыл пароль. Надеюсь, никаких проблем?

demolishka в сообщении #1411336 писал(а):

Меня устраивает.

А вторую часть сообщения вы намеренно проигнорировали?

[alcoholist]

oleg.k в сообщении #1411335 писал(а):

Забудем про это?

Что из себя представляет ограничение функции Дирихле на $\mathbb{Q}$?

[demolishka]

oleg.k в сообщении #1411339 писал(а):

А вторую часть сообщения вы намеренно проигнорировали?

Приведенная теорема из учебника Зорича несомненно верна и никак не противоречит примеру. Функция Дирихле рассматриваемая на рациональных или иррациональных числах постоянна и потому непрерывна.

[oleg.k]

alcoholist в сообщении #1411340 писал(а):

Что из себя представляет ограничение функции Дирихле на $\mathbb{Q}$?

Функция, тождественно равная единице. А это простите к чему? Я же не спорю с тем, что сужение функции Дирихле на рациональные числа является равномерно непрерывной функцией. Я спорю лишь с тем, что вменяемо определить "равномерную непрерывность по множеству" по всей видимости невозможно. Ну или вступим в противоречие с цитатой Зорича, которую я привел. Если у вас есть нормальное определение "равномерной непрерывности функции по множеству", с радостью бы взглянул.

demolishka в сообщении #1411342 писал(а):

Приведенная теорема из учебника Зорича несомненно верна и никак не противоречит примеру. Функция Дирихле рассматриваемая на рациональных или иррациональных числах постоянна и потому непрерывна.

Это троллинг такой?

Рассмотрим функцию Дирихле $D(x): \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Если принять ваше определение равномерной непрерывности, то получим, что эта функция (которая из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$) равномерно непрерывна на множестве рациональных чисел, а значит (см. цитату Зорича) эта функция (которая из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$) непрерывна в каждой точке, принадлежащей $\mathbb{Q}$. Функция $D(x): \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , а не ее сужение на $\mathbb{Q}$. Вы просто подменили понятия и не хотите признать, что ваше определение является полным бредом (о чем я вас неоднократно предупреждал).