Нужны ли таблицы истинности в моделях логики с кванторами?

[beroal]

В теории моделей логики первого порядка есть интерпретация как логических связок (таблицы истинности выбраны в качестве их интерпретации), так и символов функций и символов отношений (предикатов). В универсальной алгебре же ничего об интерпретации связок не говорится, то есть интерпретация связки объектного языка есть просто соответствующая связка метаязыка. Правильно ли я понимаю, что некоторую часть теории моделей (даже ту, которая касается символов отношений, которых нет в универсальной алгебре) можно развивать, не используя таблиц истинности (при условии, что нас устраивает, что в метатеории и объектной теории одна и та же логика)?

Следующий вопрос. Если мы интерпретируем связки объектного языка как связки метаязыка и в метатеории есть аксиома исключённого третьего, верно ли, что любая структура тоже будет удовлетворять этой аксиоме? По-моему, да, так как для любой формулы $\phi$:

• для всех структур $\mathfrak{A}$ и оценок $\alpha$ имеем $(\mathfrak{A}, \alpha\models\phi) \lor \lnot(\mathfrak{A}, \alpha\models\phi)$;
• для всех структур $\mathfrak{A}$ и оценок $\alpha$ имеем $\mathfrak{A}, \alpha\models(\phi \lor \lnot\phi)$ по семантическому определению истины;
• $\phi \lor \lnot\phi$ общезначима.

[george66]

В классической теории моделей предполагается, что логика классическая двузначная. Но двузначность нигде или почти нигде не требуется и есть развитая теория "булевозначных моделей". Можно почти везде считать, что логические значения образуют полную булеву алгебру, всё равно какую.

[beroal]

george66 в сообщении #1409900 писал(а):

Можно почти везде считать, что логические значения образуют полную булеву алгебру, всё равно какую.

Ну, я о том, что можно вообще без истинностных значений.

[george66]

Можно развивать теорию моделей, не упоминая о логических значениях, но они есть и образуют полную булеву алгебру. Просто таблицы истинности выписывать - это как бы детское занятие.

-- 12.08.2019, 00:10 --

Тут ещё дело в чём. Наверное, можно, вместо "моделей" говорить об интерпретациях одной теории в другой (типа, теории групп в теории множеств). Но это против самого духа теории моделей. Там платонизм, считается, что множества реально существуют.

[beroal]

george66 в сообщении #1409920 писал(а):

Можно развивать теорию моделей, не упоминая о логических значениях, но они есть и образуют полную булеву алгебру.

Кстати, если логика интуиционистская, то может не быть булевой алгебры, а только алгебра Гейтинга?

[george66]

Да, есть теория гейтингозначных моделей (модели Крипке под неё подходят как частный случай), на эту тему можно почитать в книжке Голдблатта про гейтингозначные множества. И даже какие-то "квантовые алгебры" есть для "квантовой логики" и соответствующие модели.