2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Квазистатическое приближение
Сообщение17.06.2019, 16:03 


25/08/14
54
В университетских заметках наткнулся на метод квазистатического приближения электромагнитного поля. Речь идет о приближенном решении в случае медленно меняющихся полей. Идея заключается в следующем: электрические $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ и магнитные $\mathbf{H}(\mathbf{r},t)$ поля, токи $\mathbf{J}(\mathbf{r},t),\mathbf{K}(\mathbf{r},t)$ (объемные и поверхностные) а также все заряды $\rho(\mathbf{r},t),\eta(\mathbf{r},t)$ раскладываются в степенной (в других заметках говорится, что на самом деле в асимптотический) ряд по частоте $\omega$, и вводится безразмерный параметр $\tau=\omega t$ так, что, например, $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\sum_{n=0}^{\infty} \omega^n \mathbf{e}^{(n)}(\mathbf{r},\tau)$. Причем, почему-то предполагается, что поля меняются с течением времени гармонически (как $\cos(\omega t),\sin(\omega t), e^{i\omega t}$). Далее эти выражения подставляются в уравнения Максвелла и получается система из уравнений Максвелла, т.е. уравнения Максвелла для нулевого приближения, первого, второго и т.д, причем для решения системы порядка $k$ требуется решение порядка $k-1$ (например закон Фарадея выглядит так: $\nabla \times \mathbf{e}^{(k)} = -\mu_0 \frac{\partial \mathbf{h}^{(k-1)}}{\partial t}$). Если в решении нулевого порядка отсутствует магнитное поле то речь идет об "электро-квазистатике" (тогда эл. поля будут возникать в четных порядках, а магнитные в нечетных).

Вопрос: где можно почитать подробнее о данном методе и посмотреть примеры решения задач с его использованием? В литературе ничего подобного не нашел. В заметках есть только один пример с обкладками конденсатора, однако он не совсем понятен (например, откуда они взяли колебания поверхностного заряда?). Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение02.08.2019, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
iwndr в сообщении #1399730 писал(а):
почему-то предполагается, что поля меняются с течением времени гармонически
Это предположение оправдывается линейностью уравнений Максвелла.
iwndr в сообщении #1399730 писал(а):
Вопрос: где можно почитать подробнее о данном методе и посмотреть примеры решения задач с его использованием? В литературе ничего подобного не нашел.
Это как-то странно, потому что разложение в ряд (пусть только асимптотический) по малому параметру - совершенно стандартный приём.

Хотя, учитывая уровень общей деградации и повального увлечения прямыми методами, это может быть и не удивительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение03.08.2019, 19:26 


25/08/14
54
Утундрий в сообщении #1408374 писал(а):
Это предположение оправдывается линейностью уравнений Максвелла.

На самом деле, это оправдывается тем, что гармонический случай удобен для анализа, и что многие процессы можно приближенно описывать именно так. Ваш намек на Фурье понятен, но это не есть объяснение. Впрочем, с этим я уже разобрался.
Утундрий в сообщении #1408374 писал(а):
Хотя, учитывая уровень общей деградации и повального увлечения прямыми методами, это может быть и не удивительно.

Если отбросить надменность - вам есть что сказать по существу? Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение03.08.2019, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
iwndr в сообщении #1408535 писал(а):
гармонический случай удобен для анализа, и что многие процессы можно приближенно описывать именно так
В данном случае не приближенно, а точно.
iwndr в сообщении #1408535 писал(а):
вам есть что сказать по существу? Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.
Ван-Дайк "Методы возмущений в механике жидкости".

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение03.08.2019, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
iwndr в сообщении #1408535 писал(а):
Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе
Ну например самое начало Маслов, Федорюк "Канонический оператор Маслова". И вообще ищите "квазиклассическое приближение", "коротковолновая асимптотика", а вот "квазистационарное приближение" это явно "изобретение" альтернативно одаренного.

Проще всего начать не с Максвелла, а с волнового уравнения. Мы ищем решение в виде
$$
u = e^{i\omega \varphi(x,t)} A(x,t)
$$
и если рассмотреть только члены с $\omega^2$, то получим уравнение эйконала ($ \varphi(x,t)$ называется так)
$$
\varphi_t^2 - c^2|\nabla \varphi|^2 =0.
$$
Это нелинейное уравнение первого порядка и в зависимости от начальных условий на $\varphi$ и от переменности $c$ будет локальное или глобальное решение. Ладно, у вас простой случай, нет каустик, и берется $\varphi$ линейной по $x,t$

Потом рассмотрим члены с $\omega$. Получим уравнение переноса
$$
\varphi_t A_t - c^2 \nabla \varphi \cdot \nabla A + b A =0
$$
где $b= \varphi _{tt }- c^2\Delta \varphi$ , $0$ в вашем случае.

В сухом остатке члены с $\omega^0$. Чтобы справиться с ними мы берем $A\sim\sum_{n=0}^\infty a_n \omega^{-n}$ , где будет асимптотический ряд. Вам надо выучить "суммировани" таких рядов, но пока считайте сумму формальной. Тогда для $A_0$ все как раньше, для $A_1$ в уравнении переноса будет тот "сухой остаток" от $A_0$, для $A_2$ нам надо рассмотреть члены с $\omega^{-1}$ и в уравнении переноса будет тот "сухой остаток" от $A_1$ (в более сложных случаях от всех предыдущих) и т.д.

Все! Реальные трудности начинаются около каустик , но у вас их нет.

Теперь системы. Там все так же, но сложнее: $A$ векторозначна. Мы не можем занулить выбором $\varphi$ член со старшей степенью $\omega$, он имеет вид $P(\varphi_t,\nabla \varphi)A_0=0$, где $P(\varphi_t,\nabla \varphi)$ матрица, но му требуем чтобы ее детерминант был $0$,$\det P(\varphi_t,\nabla \varphi)=0$ и это и будет уравнение эйконала. Но тогда $A_0$ должно попасть в ядро этой матрицы , что определяет $A_0$ , но не совсем , и дальше идет игра с ядрами и образами этой матрицы на каждом шаге. Но про Максвелле в изотропной среде все проще: $(E,H)$ удовлетворяют волновому уравнению.

Т.ч. разберитесь с в.у.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение04.08.2019, 13:08 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Red_Herring, вы случай малых частот со случаем наоборот больших не перепутали? Эйконал и т.д. это большие частоты. А квазистатика -- наоборот малые.

-- Вс авг 04, 2019 17:10:48 --

iwndr в сообщении #1408535 писал(а):
Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.


Здесь не нужна литература. Здесь надо совсем чуть-чуть собственных мозгов. Тем более, что идея изложена в указанных вами же заметках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение04.08.2019, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Alex-Yu в сообщении #1408648 писал(а):
вы случай малых частот со случаем наоборот больших не перепутали? Э

Похоже, что да: не обратил внимание что у ТС положительные степени $\omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение05.08.2019, 23:12 


25/08/14
54
Alex-Yu в сообщении #1408648 писал(а):
Здесь не нужна литература. Здесь надо совсем чуть-чуть собственных мозгов

Для усвоения теории нужно решать задачи, хотя бы потому, что речь идет об инженерном курсе (отдельно посвященный ЭМ полям). Хорошей литературы или задачников на русском я не нашел, и надеялся на помощь в этом вопросе. Не ожидал, что в ответ будет столько желчи. К счастью, тема хорошо изложена в книге Fano, Chu, Adler Electromagnetic Fields, Energy, and Forces, поэтому данный вопрос можно считать закрытым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квазистатическое приближение
Сообщение05.08.2019, 23:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Раз можно - будем. Закрыто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group