Квазистатическое приближение

[iwndr]

В университетских заметках наткнулся на метод квазистатического приближения электромагнитного поля. Речь идет о приближенном решении в случае медленно меняющихся полей. Идея заключается в следующем: электрические $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ и магнитные $\mathbf{H}(\mathbf{r},t)$ поля, токи $\mathbf{J}(\mathbf{r},t),\mathbf{K}(\mathbf{r},t)$ (объемные и поверхностные) а также все заряды $\rho(\mathbf{r},t),\eta(\mathbf{r},t)$ раскладываются в степенной (в других заметках говорится, что на самом деле в асимптотический) ряд по частоте $\omega$, и вводится безразмерный параметр $\tau=\omega t$ так, что, например, $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\sum_{n=0}^{\infty} \omega^n \mathbf{e}^{(n)}(\mathbf{r},\tau)$. Причем, почему-то предполагается, что поля меняются с течением времени гармонически (как $\cos(\omega t),\sin(\omega t), e^{i\omega t}$). Далее эти выражения подставляются в уравнения Максвелла и получается система из уравнений Максвелла, т.е. уравнения Максвелла для нулевого приближения, первого, второго и т.д, причем для решения системы порядка $k$ требуется решение порядка $k-1$ (например закон Фарадея выглядит так: $\nabla \times \mathbf{e}^{(k)} = -\mu_0 \frac{\partial \mathbf{h}^{(k-1)}}{\partial t}$). Если в решении нулевого порядка отсутствует магнитное поле то речь идет об "электро-квазистатике" (тогда эл. поля будут возникать в четных порядках, а магнитные в нечетных).

Вопрос: где можно почитать подробнее о данном методе и посмотреть примеры решения задач с его использованием? В литературе ничего подобного не нашел. В заметках есть только один пример с обкладками конденсатора, однако он не совсем понятен (например, откуда они взяли колебания поверхностного заряда?). Спасибо.

[Утундрий]

iwndr в сообщении #1399730 писал(а):

почему-то предполагается, что поля меняются с течением времени гармонически

Это предположение оправдывается линейностью уравнений Максвелла.

iwndr в сообщении #1399730 писал(а):

Вопрос: где можно почитать подробнее о данном методе и посмотреть примеры решения задач с его использованием? В литературе ничего подобного не нашел.

Это как-то странно, потому что разложение в ряд (пусть только асимптотический) по малому параметру - совершенно стандартный приём.

Хотя, учитывая уровень общей деградации и повального увлечения прямыми методами, это может быть и не удивительно.

[iwndr]

Утундрий в сообщении #1408374 писал(а):

Это предположение оправдывается линейностью уравнений Максвелла.

На самом деле, это оправдывается тем, что гармонический случай удобен для анализа, и что многие процессы можно приближенно описывать именно так. Ваш намек на Фурье понятен, но это не есть объяснение. Впрочем, с этим я уже разобрался.

Утундрий в сообщении #1408374 писал(а):

Хотя, учитывая уровень общей деградации и повального увлечения прямыми методами, это может быть и не удивительно.

Если отбросить надменность - вам есть что сказать по существу? Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.

[Утундрий]

iwndr в сообщении #1408535 писал(а):

гармонический случай удобен для анализа, и что многие процессы можно приближенно описывать именно так

В данном случае не приближенно, а точно.

iwndr в сообщении #1408535 писал(а):

вам есть что сказать по существу? Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.

Ван-Дайк "Методы возмущений в механике жидкости".

[Red_Herring]

iwndr в сообщении #1408535 писал(а):

Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе

Ну например самое начало Маслов, Федорюк "Канонический оператор Маслова". И вообще ищите "квазиклассическое приближение", "коротковолновая асимптотика", а вот "квазистационарное приближение" это явно "изобретение" альтернативно одаренного.

Проще всего начать не с Максвелла, а с волнового уравнения. Мы ищем решение в виде

$$ u = e^{i\omega \varphi(x,t)} A(x,t) $$

и если рассмотреть только члены с $\omega^2$, то получим уравнение эйконала ($ \varphi(x,t)$ называется так)

$$ \varphi_t^2 - c^2|\nabla \varphi|^2 =0. $$

Это нелинейное уравнение первого порядка и в зависимости от начальных условий на $\varphi$ и от переменности $c$ будет локальное или глобальное решение. Ладно, у вас простой случай, нет каустик, и берется $\varphi$ линейной по $x,t$

Потом рассмотрим члены с $\omega$. Получим уравнение переноса

$$ \varphi_t A_t - c^2 \nabla \varphi \cdot \nabla A + b A =0 $$

где $b= \varphi _{tt }- c^2\Delta \varphi$ , $0$ в вашем случае.

В сухом остатке члены с $\omega^0$. Чтобы справиться с ними мы берем $A\sim\sum_{n=0}^\infty a_n \omega^{-n}$ , где будет асимптотический ряд. Вам надо выучить "суммировани" таких рядов, но пока считайте сумму формальной. Тогда для $A_0$ все как раньше, для $A_1$ в уравнении переноса будет тот "сухой остаток" от $A_0$, для $A_2$ нам надо рассмотреть члены с $\omega^{-1}$ и в уравнении переноса будет тот "сухой остаток" от $A_1$ (в более сложных случаях от всех предыдущих) и т.д.

Все! Реальные трудности начинаются около каустик , но у вас их нет.

Теперь системы. Там все так же, но сложнее: $A$ векторозначна. Мы не можем занулить выбором $\varphi$ член со старшей степенью $\omega$, он имеет вид $P(\varphi_t,\nabla \varphi)A_0=0$, где $P(\varphi_t,\nabla \varphi)$ матрица, но му требуем чтобы ее детерминант был $0$,$\det P(\varphi_t,\nabla \varphi)=0$ и это и будет уравнение эйконала. Но тогда $A_0$ должно попасть в ядро этой матрицы , что определяет $A_0$ , но не совсем , и дальше идет игра с ядрами и образами этой матрицы на каждом шаге. Но про Максвелле в изотропной среде все проще: $(E,H)$ удовлетворяют волновому уравнению.

Т.ч. разберитесь с в.у.

[Alex-Yu]

Red_Herring, вы случай малых частот со случаем наоборот больших не перепутали? Эйконал и т.д. это большие частоты. А квазистатика -- наоборот малые.

-- Вс авг 04, 2019 17:10:48 --

iwndr в сообщении #1408535 писал(а):

Если это действительно "совершенно стандартный приём" вам не составит труда отослать к соответствующей литературе.

Здесь не нужна литература. Здесь надо совсем чуть-чуть собственных мозгов. Тем более, что идея изложена в указанных вами же заметках.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1408648 писал(а):

вы случай малых частот со случаем наоборот больших не перепутали? Э

Похоже, что да: не обратил внимание что у ТС положительные степени $\omega$.

[iwndr]

Alex-Yu в сообщении #1408648 писал(а):

Здесь не нужна литература. Здесь надо совсем чуть-чуть собственных мозгов

Для усвоения теории нужно решать задачи, хотя бы потому, что речь идет об инженерном курсе (отдельно посвященный ЭМ полям). Хорошей литературы или задачников на русском я не нашел, и надеялся на помощь в этом вопросе. Не ожидал, что в ответ будет столько желчи. К счастью, тема хорошо изложена в книге Fano, Chu, Adler Electromagnetic Fields, Energy, and Forces, поэтому данный вопрос можно считать закрытым.

[Pphantom]

Раз можно - будем. Закрыто.