Идея и состояла в том, чтобы представить его метрическим
И почему эта замечательная идея не пришла в голову никому, кроме ТС? Наверно потому, что она не столь замечательная. Во-первых, вместо одной функции

предлается рассмотреть кучу

. Но хуже: через каждую точку пространства координат-скоростей проходит в точности одна траектория порожденная Лагранжианом, зато проходит очень много "геодезических", просто потому, что геодезические это на самом деле проекции кривых в

мерном расслоении "единичных" сфер в кокасательном пространстве над основным

-мерным фазовым пространством пространством.