Лагранжиан

[alcoholist]

Red_Herring в сообщении #1408221 писал(а):

и об ортогональности их речи не идет

Правда, в этом случае физики говорят об "ортонормированности на дельта-функцию":)

[pogulyat_vyshel]

warlock66613 в сообщении #1408256 писал(а):

Это проблема Лебега, а не ТС.

бессмысленная фраза

[Theoristos]

sergey zhukov в сообщении #1408198 писал(а):

Зачем представлять лагранжиан в виде метрики в фазовом пространстве?

А разве фазовое пространство - метрическое?

[sergey zhukov]

Идея и состояла в том, чтобы представить его метрическим, причем метрикой будет выступать величина связанная с гамильтонианом (или с лагранжианом, если это пространство координат-скоростей).

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1408362 писал(а):

Идея и состояла в том, чтобы представить его метрическим

И почему эта замечательная идея не пришла в голову никому, кроме ТС? Наверно потому, что она не столь замечательная. Во-первых, вместо одной функции $L(q,v)$ предлается рассмотреть кучу $G_{ij}(q,v)$. Но хуже: через каждую точку пространства координат-скоростей проходит в точности одна траектория порожденная Лагранжианом, зато проходит очень много "геодезических", просто потому, что геодезические это на самом деле проекции кривых в $(4n-1)$ мерном расслоении "единичных" сфер в кокасательном пространстве над основным $2n$-мерным фазовым пространством пространством.

[sergey zhukov]

Red_Herring в сообщении #1408365 писал(а):

через каждую точку пространства координат-скоростей проходит в точности одна траектория порожденная Лагранжианом

Вот это действительно аргумент против. Для данной системы при разных начальных условиях $(q_0,u_0)$ траектории системы, порожденные лагранжианом в пространстве $(q,u)$, не могут пересечься. Т.е. лагранжиан накладывает более сильное ограничение на вид траектории, чем просто одна из геодезических. Он определяет единственный способ прохождения траектории через любую точку пространства $(q,u)$. Согласен.

[pogulyat_vyshel]

Я не дифференциальный геометр, но сейчас я попробую пофантазировать, как можно было бы канонически ввести метрику в касательном расслоении $N$ риманова многообразия $(M,g_{ij}),\quad N=TM$. Локально в расслоении можно ввести координаты $(x^1,\ldots,x^m,v^1,\ldots, v^m)$ где $x$ -- локальные координаты в $M$, а $v\in T_xM$
Соответственно, если $(x(t),v(t))$ -- кривая в $N$ то $(\dot x,\dot v)\in T_{(x,v)}N$
Введем обозначение $D v^k=\dot v^k+\Gamma_{ij}^k\dot x^i v^j.$
Пусть теперь $\xi=(\dot x,\dot v),\quad \eta=(\dot y,\dot w)$ -- касательные векторы к многообразию $N$, торчащие из одной точки ($x(0)=y(0),\quad v(0)=w(0),\quad \xi,\eta\in T_{(x(0),v(0))}N$). Введем метрику в $N$ по формуле
$(\xi,\eta)=g_{ij}\dot x^i\dot y^j+g_{ij}Dv^iDw^j$

-- 03.08.2019, 13:04 --

подозреваю, что если мы теперь геодезическую из $N$ спустим в $M$ то тоже получится геодезическая, проверьте это кто-ньть:)