2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение01.08.2019, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Red_Herring в сообщении #1408221 писал(а):
и об ортогональности их речи не идет
Правда, в этом случае физики говорят об "ортонормированности на дельта-функцию":)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение02.08.2019, 18:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
warlock66613 в сообщении #1408256 писал(а):
Это проблема Лебега, а не ТС.

бессмысленная фраза

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение02.08.2019, 18:18 


24/01/09
1090
Украина, Днепропетровск
sergey zhukov в сообщении #1408198 писал(а):
Зачем представлять лагранжиан в виде метрики в фазовом пространстве?

А разве фазовое пространство - метрическое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение02.08.2019, 19:14 


17/10/16
3894
Идея и состояла в том, чтобы представить его метрическим, причем метрикой будет выступать величина связанная с гамильтонианом (или с лагранжианом, если это пространство координат-скоростей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение02.08.2019, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
sergey zhukov в сообщении #1408362 писал(а):
Идея и состояла в том, чтобы представить его метрическим

И почему эта замечательная идея не пришла в голову никому, кроме ТС? Наверно потому, что она не столь замечательная. Во-первых, вместо одной функции $L(q,v)$ предлается рассмотреть кучу $G_{ij}(q,v)$. Но хуже: через каждую точку пространства координат-скоростей проходит в точности одна траектория порожденная Лагранжианом, зато проходит очень много "геодезических", просто потому, что геодезические это на самом деле проекции кривых в $(4n-1)$ мерном расслоении "единичных" сфер в кокасательном пространстве над основным $2n$-мерным фазовым пространством пространством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение02.08.2019, 20:12 


17/10/16
3894
Red_Herring в сообщении #1408365 писал(а):
через каждую точку пространства координат-скоростей проходит в точности одна траектория порожденная Лагранжианом

Вот это действительно аргумент против. Для данной системы при разных начальных условиях $(q_0,u_0)$ траектории системы, порожденные лагранжианом в пространстве $(q,u)$, не могут пересечься. Т.е. лагранжиан накладывает более сильное ограничение на вид траектории, чем просто одна из геодезических. Он определяет единственный способ прохождения траектории через любую точку пространства $(q,u)$. Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лагранжиан
Сообщение03.08.2019, 11:21 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Я не дифференциальный геометр, но сейчас я попробую пофантазировать, как можно было бы канонически ввести метрику в касательном расслоении $N$ риманова многообразия $(M,g_{ij}),\quad N=TM$. Локально в расслоении можно ввести координаты $(x^1,\ldots,x^m,v^1,\ldots, v^m)$ где $x$ -- локальные координаты в $M$, а $v\in T_xM$
Соответственно, если $(x(t),v(t))$ -- кривая в $N$ то $(\dot x,\dot v)\in T_{(x,v)}N$
Введем обозначение $D v^k=\dot v^k+\Gamma_{ij}^k\dot x^i v^j.$
Пусть теперь $\xi=(\dot x,\dot v),\quad \eta=(\dot y,\dot w)$ -- касательные векторы к многообразию $N$, торчащие из одной точки ($x(0)=y(0),\quad v(0)=w(0),\quad \xi,\eta\in T_{(x(0),v(0))}N$). Введем метрику в $N$ по формуле
$(\xi,\eta)=g_{ij}\dot x^i\dot y^j+g_{ij}Dv^iDw^j$

-- 03.08.2019, 13:04 --

подозреваю, что если мы теперь геодезическую из $N$ спустим в $M$ то тоже получится геодезическая, проверьте это кто-ньть:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group