Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа

[Nickname1101]

beroal
И последний вопрос - ради чего все это? (в контексте одномерного анализа в первом семестре первого курса) Я давно намеревался написать комментарий в стиле "топология vs матан" (тут на форуме даже тема такая есть). Видимо, самое время.
Я не спорю, что классический матанализ "можно поставить на рельсы топологии". В заведениях наподобие НМУ/ВШЭ по слухам так и делают. Но мне абсолютно не понятно, зачем так строить анализ. Из той темы мне больше всего понравилась фраза

provincialka в сообщении #1355610 писал(а):

До топологических пространств надо дорасти!

Зачем изучать обобщения, когда простейший частный случай (одномерный анализ на $\mathbb{R}$) не был изучен? Да, теорем станет меньше, возможно, уменьшатся некоторые доказательства. Но вместе с этим потеряется наглядность и естественность изучаемых объектов.

Munin в сообщении #1355601 писал(а):

Я не понимаю, какой смысл давать общую топологию студентам, не знакомым как минимум с примерами $\mathbb{R}^n,\mathbb{C},\mathbb{C}^n,$ а то и $\mathbb{Q}_p.$

Имхо, прежде чем что-то обобщать, нужно понимать что обобщается.
Одномерный анализ прекрасно описывается на языке окрестностей (открытых промежутков в $\mathbb{R}$). То же самое "на языке $\varepsilon-\delta$".

g______d в сообщении #1355724 писал(а):

1) С высокой вероятностью Вы будете иметь дело со студентами, для которых текущая вершина уровня абстракции -- произвольное подмножество $\mathbb R$. Хорошо ещё если они знают, что такое $\mathbb R$, к тому моменту. Вы предлагаете подняться сразу на два уровня (подмножество множества подмножеств). Учитывая, что до этого они могли вообще не иметь дела с формальными определениями.

Я наблюдаю очень странную логику. Когда я предлагаю начинать теорию предела с рассмотрения произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$, то вижу нечто наподобие "зачем сразу обобщать до функции, слишком абстрактно, последовательности нагляднее и проще" и вместе с этим слова "топология", "база", "фильтр" фигурируют в этой теме чаще чем "предел" "Коши" и т.д.

Резюмирую. На мой (сугубо непрофессиональный) взгляд всему должно быть свое время. Применять язык, теоремы и методы топологии для одномерного анализа можно, но не нужно. Одномерный анализ надо построить честно, "ручками".

[beroal]

Nickname1101 в сообщении #1407923 писал(а):

beroal
И последний вопрос - ради чего все это?

Я написал то, что написал, чтобы подправить вашу терминологию. Рано или поздно человек, изучающий анализ, столкнётся с моим определением. Нехорошо, если термину присвоено два отличающихся смысла в одном разделе математики.

Насчёт остальных ваших вопросов не знаю — я не отвечаю за то, что другие люди пишут в этой теме.

[Nickname1101]

beroal

beroal в сообщении #1407932 писал(а):

Нехорошо, если термину присвоено два отличающихся смысла в одном разделе математики.

Ну на счет системы окрестностей - это у меня отсебятина была. А вот про "окрестность точки" мы с Вами и впрямь расходимся. Но это тоже не очень хорошо называть матанализ и топологию "одним разделом математики". Скорее вторая обобщает первое. Неудивительно, что топологическое определение окрестности более общее, чем то, которое принято в матанализе. Касательно термина "окрестность точки" я думаю, что нету "правильного" и "не правильного" определения. Понимать окрестность как любой открытый промежуток, содержащий точку - вполне достаточно для нужд матанализа, но очевидно не достаточно для нужд топологии.

beroal в сообщении #1407932 писал(а):

Насчёт остальных ваших вопросов не знаю — я не отвечаю за то, что другие люди пишут в этой теме.

Да я ведь свой комментарий всем участникам беседы адресую, в том числе и Вам.

[Munin]

Nickname1101 в сообщении #1407923 писал(а):

...слова "топология", "база", "фильтр" фигурируют в этой теме чаще чем "предел" "Коши" и т.д.

Ну так это просто потому, что раздел "Вопросы преподавания" - это междусобойчик преподавателей, которые-то эти слова знают.

[Anton_Peplov]

beroal в сообщении #1407816 писал(а):

По-моему, «сколь угодно малая» — это неформальное условие.

Отнюдь. Вполне формализованное.

В метрическом пространстве "существует сколь угодно малая окрестность точки $p$ такая, что…" в точности записывается как "для любого $\varepsilon >0$ найдется окрестность точки $p$ радиусом не больше $\varepsilon$, такая, что…". Здесь радиус окрестности -- $\sup$ расстояния между точкой $p$ и другими точками окрестности, и окрестность -- не обязательно шар.

Оно даже в общую топологию переползло в виде "для любой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что…" (то, что это требование в метрическом случае эквивалентно предыдущему, легко доказать).

[arseniiv]

beroal в сообщении #1407816 писал(а):

Система окрестностей $\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{R}$.

$+\infty$ или беззнаковой $\infty$? Беззнаковая удобна (и естественно появляется как часть проективизации) например тем, что $\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x$ существует.

[jekyl]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1407957 писал(а):

Беззнаковая удобна (и естественно появляется как часть проективизации) например тем, что $\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x$ существует.

$x\to0$?

[Nickname1101]

У меня складывается впечатление, что тема скатывается в бессодержательное русло и оффтоп. Постараюсь вернуться к первоначальному вопросу. Для этого я выложу "скелет" программы теории пределов, которая, на мой взгляд, передает все существенные моменты этого раздела, сокращает его объем и делает его более структурированным. Все сказанное ниже относится к одномерному анализу. Я ни в коем случае не претендую на роль писателя учебников/составителя программ и т.д., не пытаюсь давать советы профессионалам, как им делать их работу. Напротив, я заинтересован этим вопросом исключительно в личных целях и мне крайне интересно, какие преимущества и недостатки имеет эта "программа" из-за того, что мое понимание этого раздела выглядит приблизительно так. Делайте Ваши замечания, буду по возможности оставлять свои комментарии. И не судите строго


1. Вводные замечания: предъявление основного объекта теории пределов - функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$, введение $\overline{\mathbb{R}}$, бесконечно удаленных точек, их окрестностей (в т.ч. проколотых), введение предельных точек.
2. Основное определение предела функции по Коши в терминах окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек, его запись с помощью логической символики, замечание по поводу эквивалентности определений в терминах произвольных и симметричных окрестностей, перевод основного определения на каждый из 9 конкретных случаев "на языке $\varepsilon-\delta$", здесь же можно упомянуть односторонние пределы.
3. Основные свойства предела: единственность, сходимость (финально) постоянной функции, локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел.
4. Предельный переход и арифметические операции (про предел суммы/разности/произведения/частного 2-ух функций, определенных на некоторой области определения $E\subset\mathbb{R}$ с соответствующими оговорками про частное).
5. Предельный переход и неравенства (4 теоремы, связывающие неравенства для значений функций с неравенствами для их пределов, лемма о милиционерах)
6. Предел композиции двух функций. Здесь особенно важно показать, почему утверждение "предел композиции равен пределу внешней функции" вообще говоря, неверно и предъявить 2 условия, каждое из которых обращает это утверждение в верное.
7. Предел монотонной функции
8. Критерий Коши существования предела функции.
9. Введение последовательностей, как важного частного случая функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$. Проверка того, что все (или почти все) теоремы для последовательностей и их пределов тривиальным образом следуют из рассмотренных ранее теорем о пределах произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$. Критерий Гейне существования предела функции.
10. Асимптотическое поведение функций.

Естественно, что изложение следует всюду разбавлять примерами (порой существенными, такими как введение числа $e$). Понятно так же, что я не написал все теоремы и понятия, про которые надо сказать (например, в п.8 очевидно надо предварительно ввести колебание функции на множестве и в точке, чтобы сформулировать критерий Коши); моя цель была лишь в том, чтобы выделить "контрольные точки" такой "программы". Непрерывность функции рассматривается далее. Здесь я сконцентрировался именно на теории пределов. Я не исключаю, что некоторые теоремы о последовательностях придется обговорить отдельно, но все они помещаются в п.9.
В общем как-то так.

[arseniiv]

(jekyl)

Ой, да, спасибо, я привёл какой-то не тот пример, предел же и для $x\to\pm\infty$ есть и тот же. Мне надо было написать $\lim\limits_{x\to0}\frac1x$, а это уже не в ту степь. Надо было взять вообще какой-нибудь $\lim\limits_{x\to\infty}x^3$, вероятно.

[Munin]

А вот у меня возник вопрос.

Можно ли пополнять $\mathbb{R}$ только точкой $\infty,$ а к $\pm\infty$ относиться ровно так же, как к односторонним пределам? (типа $a\pm 0$) Какие плюсы и минусы у такого подхода?

[arseniiv]

Красивый ход, но иногда порядок нужнее. С пределами это уже не пересекается, правда (кроме всяких милиционеров — в общем, intrinsically).

-- Ср июл 31, 2019 04:10:01 --

Интересно, есть ли ещё минусы, не связанные с поломкой полного порядка.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1408056 писал(а):

Красивый ход, но иногда порядок нужнее.

Не понял.

[arseniiv]

$\infty$ разрушает линейность порядка, а $\pm\infty$ нет, потому можно доопределить всякие супремумы-инфимумы пустого множества ими, например.

[Munin]

А зачем, и надо ли оно?