Конденсатор

[dovlato]

Пусть имеется заряженный воздушный конденсатор с одинаковыми обкладками прямоугольной формы.
В некоторый момент происходит короткое замыкание конденсатора сразу по всей длине одной из сторон этих обкладок. Возникают колебания, порождающие излучение. Будем считать его достаточно слабым.
Длина его волны $\lambda$. Какова, примерно, длина другой, перпендикулярной стороны обкладки.

[Munin]

Поскольку больше никаких размерных величин не дано, то должна быть $\lambda$ :-) По порядку величины, с точностью до безразмерного коэффициента, который, вангую, порядка единицы.

[realeugene]

$\lambda/4$

[Gagarin1968]

А по-моему, $\displaystyle \frac {\lambda}{2}$

[realeugene]

Есть очень простое доказательство $\lambda/4$, но его писать пока что рано.

[dovlato]

Потом, мне кажется, интересно будет посмотреть разные варианты решений.

[DimaM]

У меня получается $\dfrac{\lambda}{2\pi}$.

(Оффтоп)

Квазистационарное приближение (возможно, в данном случае неприменимое):
пусть ширина конденсатора $l_1$, длина (неизвестная) $l_2$, расстояние между обкладками $h\ll l_{1,2}$. Тогда его емкость $C=\dfrac{l_1l_2}{4\pi h}$. Индуктивность, когда ток течет вдоль $l_2$, будет $L=\dfrac{4\pi l_2h}{l_1}$.
Частота $\omega=\dfrac{c}{\sqrt{LC}}=\dfrac{c}{l_2}$, длина волны $\lambda=\dfrac{2\pi c}{\omega}=2\pi l_2$.

[AnatolyBa]

Я думаю, что правильнее рассматривать это как элемент с сосредоточенными параметрами а не как линию
Иными словами присоединяюсь к DimaM

[realeugene]

(подсказка)

Прямоугольный конденсатор с закороченным краем и слабым излучением - это резонатор в виде параллелепипеда с тремя проводящими и тремя непроводящими стенками. Толщина гораздо меньше размеров пластин, так как утечки через открытые стенки пренебрежимо слабые. Остаётся подумать, какая в этом резонаторе возможна стоячая волна минимальной частоты?

[Munin]

AnatolyBa в сообщении #1407880 писал(а):

Я думаю, что правильнее рассматривать это как элемент с сосредоточенными параметрами а не как линию

Ну, для этого надо оценить длину волны в линии, если бы это была линия. И если она будет много больше $l_2,$ то приближение оправдано.

[AnatolyBa]

Munin в сообщении #1407884 писал(а):

надо оценить длину волны в линии

Или предположить, что имеем право рассматривать как элемент с сосредоточенными параметрами, получить $\dfrac{\lambda}{2\pi}$ и решить что это достаточно мало по сравнению с $\lambda$

[realeugene]

В решении DimaM предполагается, что напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности постоянны вдоль $l_2$. Но это не так.

[Munin]

AnatolyBa в сообщении #1407892 писал(а):

...получить $\dfrac{\lambda}{2\pi}$ и решить что это достаточно мало по сравнению с $\lambda.$

Ну, это достаточно грубое "достаточно мало́". И вы получаете ошибку порядка $e^{1-1/2\pi},$ что вполне оправданно. $e^{1-1/2\pi}>\tfrac{1/4}{1/2\pi}.$

-- 30.07.2019 16:35:40 --

realeugene
Но как ни странно, для грубой оценки по порядку величины - работает. Даже точнее, чем у меня.

-- 30.07.2019 16:36:17 --

Осталось сравнить, кто сколько эрг затратил на решение своим способом :-)

[AnatolyBa]

realeugene в сообщении #1407898 писал(а):

предполагается, что напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности постоянны вдоль $l_2$. Но это не так

Да, конечно. Другое крайнее предположение - если рассматривать конденсатор как идеальную линию и идеальную коммутацию - дает ваш ответ (гармоники не учитываем).
(Про ваше обоснование я не говорю, оно как-бы закрыто)
В общем, оба ответа "примерно" равны.
Вариант с сосредоточенными параметрами, если решить что $\frac{1}{2 \pi}$ недостаточно мало, позволяет найти следующее приближение (хотя это сложнее).
Вариант с линией сложнее для анализа погрешности

Munin в сообщении #1407903 писал(а):

Осталось сравнить, кто сколько эрг затратил на решение своим способом

(Оффтоп)

Я на диете, мне полезно

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1407911 писал(а):

гармоники не учитываем

Что мешает даже в модели длинной линии аккуратно учесть гармоники? Заряжаем длинную линию, закорачиваем с одного конца и смотрим, как волна в виде ступеньки по ней начинает бегать туда-сюда со скоростью света? Пробежала ступенька четыре длины - вернулись к первоначальному состоянию. Дисперсией в воздухе можно пренебречь, ступенька учитывает все гармоники.