2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 12:30 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Пусть имеется заряженный воздушный конденсатор с одинаковыми обкладками прямоугольной формы.
В некоторый момент происходит короткое замыкание конденсатора сразу по всей длине одной из сторон этих обкладок. Возникают колебания, порождающие излучение. Будем считать его достаточно слабым.
Длина его волны $\lambda$. Какова, примерно, длина другой, перпендикулярной стороны обкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Поскольку больше никаких размерных величин не дано, то должна быть $\lambda$ :-) По порядку величины, с точностью до безразмерного коэффициента, который, вангую, порядка единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 12:58 


27/08/16
9426
$\lambda/4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 13:23 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
А по-моему, $\displaystyle \frac {\lambda}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 13:28 


27/08/16
9426
Есть очень простое доказательство $\lambda/4$, но его писать пока что рано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 13:50 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Потом, мне кажется, интересно будет посмотреть разные варианты решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 15:06 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
У меня получается $\dfrac{\lambda}{2\pi}$.

(Оффтоп)

Квазистационарное приближение (возможно, в данном случае неприменимое):
пусть ширина конденсатора $l_1$, длина (неизвестная) $l_2$, расстояние между обкладками $h\ll l_{1,2}$. Тогда его емкость $C=\dfrac{l_1l_2}{4\pi h}$. Индуктивность, когда ток течет вдоль $l_2$, будет $L=\dfrac{4\pi l_2h}{l_1}$.
Частота $\omega=\dfrac{c}{\sqrt{LC}}=\dfrac{c}{l_2}$, длина волны $\lambda=\dfrac{2\pi c}{\omega}=2\pi l_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 15:10 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Я думаю, что правильнее рассматривать это как элемент с сосредоточенными параметрами а не как линию
Иными словами присоединяюсь к DimaM

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 15:22 


27/08/16
9426

(подсказка)

Прямоугольный конденсатор с закороченным краем и слабым излучением - это резонатор в виде параллелепипеда с тремя проводящими и тремя непроводящими стенками. Толщина гораздо меньше размеров пластин, так как утечки через открытые стенки пренебрежимо слабые. Остаётся подумать, какая в этом резонаторе возможна стоячая волна минимальной частоты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AnatolyBa в сообщении #1407880 писал(а):
Я думаю, что правильнее рассматривать это как элемент с сосредоточенными параметрами а не как линию

Ну, для этого надо оценить длину волны в линии, если бы это была линия. И если она будет много больше $l_2,$ то приближение оправдано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 16:05 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Munin в сообщении #1407884 писал(а):
надо оценить длину волны в линии

Или предположить, что имеем право рассматривать как элемент с сосредоточенными параметрами, получить $\dfrac{\lambda}{2\pi}$ и решить что это достаточно мало по сравнению с $\lambda$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 16:23 


27/08/16
9426
В решении DimaM предполагается, что напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности постоянны вдоль $l_2$. Но это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AnatolyBa в сообщении #1407892 писал(а):
...получить $\dfrac{\lambda}{2\pi}$ и решить что это достаточно мало по сравнению с $\lambda.$

Ну, это достаточно грубое "достаточно мало́". И вы получаете ошибку порядка $e^{1-1/2\pi},$ что вполне оправданно. $e^{1-1/2\pi}>\tfrac{1/4}{1/2\pi}.$

-- 30.07.2019 16:35:40 --

realeugene
Но как ни странно, для грубой оценки по порядку величины - работает. Даже точнее, чем у меня.

-- 30.07.2019 16:36:17 --

Осталось сравнить, кто сколько эрг затратил на решение своим способом :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 16:51 
Заслуженный участник


21/09/15
998
realeugene в сообщении #1407898 писал(а):
предполагается, что напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности постоянны вдоль $l_2$. Но это не так

Да, конечно. Другое крайнее предположение - если рассматривать конденсатор как идеальную линию и идеальную коммутацию - дает ваш ответ (гармоники не учитываем).
(Про ваше обоснование я не говорю, оно как-бы закрыто)
В общем, оба ответа "примерно" равны.
Вариант с сосредоточенными параметрами, если решить что $\frac{1}{2 \pi}$ недостаточно мало, позволяет найти следующее приближение (хотя это сложнее).
Вариант с линией сложнее для анализа погрешности
Munin в сообщении #1407903 писал(а):
Осталось сравнить, кто сколько эрг затратил на решение своим способом :-)

(Оффтоп)

Я на диете, мне полезно

 Профиль  
                  
 
 Re: Конденсатор
Сообщение30.07.2019, 16:56 


27/08/16
9426
AnatolyBa в сообщении #1407911 писал(а):
гармоники не учитываем
Что мешает даже в модели длинной линии аккуратно учесть гармоники? Заряжаем длинную линию, закорачиваем с одного конца и смотрим, как волна в виде ступеньки по ней начинает бегать туда-сюда со скоростью света? Пробежала ступенька четыре длины - вернулись к первоначальному состоянию. Дисперсией в воздухе можно пренебречь, ступенька учитывает все гармоники.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group