Вопрос по обозначениям

[maxcho]

Всем добрый вечер. Вопрос такой. Вот $F(x)=y$ мне понятно - $F$ функция, $x$ и $y$ переменная. А что значит $x_0$ Это что? Ведь $x$ это переменная, что означает $_0$? Любое число на вещественной оси $x$? Почему тогда не пишут просто $x$? Почему $_0$, а не $_1$ скажем?

Второй вопрос, $dx_0f$ здесь $d$ является переменной или это просто обозначение, что речь идет о дифференциале? И опять же, почему $ x_0$?

В тех учебниках, которые у меня есть, такие формулировки задаются обычно как нечто данное, а я путаюсь, где переменная, где обозначение оператора. Есть ли какой-то популярный ликбез именно по обозначениям?

[realeugene]

maxcho,
$x$ и $x_0$ - это разные символы. Они могут быть не связаны никак и сами по себе обозначать что угодно, в зависимости от фантазии автора математического текста.

[Lia]

maxcho
Не надо так явно путать разделы. Перенесено.

[Aritaborian]

maxcho, а вы бы объяснили, где конкретно, у какого автора, в какой книге встретили эти обозначения.

[maxcho]

пример. "Если автомобиль движется с постоянной скоростью, то пройденное им за время $t$ расстояние пропорционально времени движения, то есть $ x=vt $если в начальный момент времени он находился в точке $x=x_0$, то$ x-x_0=v(t-t_0)$. Вопрос: почему $x$, а не $S$? И зачем приравнивать $x$ к $x_0$? Книга - Физика, Дж. Орир.

-- 30.07.2019, 15:02 --

То есть я не понимаю, где эта точка на вещественной оси? Или это промежуток, $\Delta$ между $x$ и $x_0$?

[Munin]

maxcho в сообщении #1407854 писал(а):

Любое число на вещественной оси х? Почему тогда не пишут просто x?

Любое фиксированное число. При этом просто $x$ - это переменная. Обычно подразумевается, что $x_0$ выбирается из того же множества, по которому пробегает и переменная $x.$

maxcho в сообщении #1407854 писал(а):

Почему 0, а не 1 скажем?

А это чистый произвол, дело вкуса. Иногда пишут $x_0,$ иногда $x_1,$ иногда даже $\tilde{x}.$ Когда выбирают два числа, то иногда пишут $x_0,x_1,$ а иногда $x_1,x_2.$ А иногда $a,b.$ Физики иногда пишут $x_\text{нач},x_\text{кон},$ или аналогичные обозначения.

Вопросы обозначений - неформальные, потому что математические тексты пишут для читателя, а не для строгого компьютера. Поэтому, как правильно замечает realeugene, в обозначениях может быть что угодно. Хотя бывают некоторые традиции. И иногда авторы полагаются на то, что читатель сам о чём-то догадается. А иногда авторы сами к чему-то давно привыкли, а читателю это уточнить забыли.

[maxcho]

Munin
Спасибо, стало понятнее. А $d$ если речь идет о дифференциальном исчислении это оператор? То есть как бы знак, который говорит о том, что у нас здесь не просто переменная $x$, а $dx$, имеющий отношение к анализу бесконечно малых?

[Munin]

maxcho в сообщении #1407862 писал(а):

И зачем приравнивать икс к икс нулевому?

Его не приравнивают. Надо понимать совершенно разную природу таких вещей, как фиксированное число и переменная. В контексте рассмотрения какой-то функции $y=f(x),$

$x$ - это независимая переменная, которая пробегает по какому-то множеству (область допустимых значений, область определения);
$y$ - это зависимая переменная, которая попадает в другое множество (область значений);
$f$ - это символ функции; в математике он часто какой-то отдельный, а в физике часто его пишут одноимённым с $y$: $y=y(x).$

И помимо этих понятий, остальные буквенные символы обозначают какие-то числа.

Например, в типичной линейной функции ${\color{blue}y}=k{\color{green!50!black}x}+b$ выражение (формула) выглядит точно так же, как если бы мы просто взяли три числа, и соединили их умножением и сложением: $kx+b.$ Но в контексте функции, эти буквы играют разную роль: $\color{green!50!black}x$ - независимая переменная, и в неё можно подставлять самые разные числа. А $k,b$ - это какие-то фиксированные числа, которые не меняются. И когда мы обсуждаем ${\color{blue}y}({\color{green!50!black}x})$ как функцию - мы подразумеваем изменение только $\color{green!50!black}x.$

И далее, когда мы обсуждаем функцию, мы можем рассматривать её значения в разных точках. Одна и та же функция ${\color{blue}y}({\color{green!50!black}x})$ позволяет порождать много разных значений:

${\color{blue}y}_0={\color{blue}y}({\color{green!50!black}x}_0)$ в точке ${\color{green!50!black}x}_0$;
${\color{blue}y}_1={\color{blue}y}({\color{green!50!black}x}_1)$ в точке ${\color{green!50!black}x}_1$;
${\color{blue}y}_2={\color{blue}y}({\color{green!50!black}x}_2)$ в точке ${\color{green!50!black}x}_2$;

и так далее. Это уже опять "просто числа" (то есть, не переменные), но не любые числа, а те, которые получены в контексте функции. Те, которые поставлены между собой в соответствие:

${\color{green!50!black}x}_0\to{\color{blue}y}_0$
${\color{green!50!black}x}_1\to{\color{blue}y}_1$
${\color{green!50!black}x}_2\to{\color{blue}y}_2$

-- 30.07.2019 14:49:27 --

maxcho в сообщении #1407866 писал(а):

А d если речь идет о дифференциальном исчислении это оператор? То есть как бы знак, который говорит о том, что у нас здесь не просто переменная x, а dx, имеющий отношение к анализу скорости возрастания или убывания функции?

Воспринимайте $d$ именно как знак, который превращает переменную $x$ в символ $dx,$ неразрывный, который используется в двух контекстах: обозначение производной $\dfrac{dy}{dx},$ и обозначение интеграла $\int\ldots\,dx.$

Что такое "оператор", вам пока знать рано. Это слово имеет более строгий смысл, чем вам сейчас кажется. И употреблять его без толку не стоит.

-- 30.07.2019 14:51:48 --

maxcho в сообщении #1407862 писал(а):

Книга - Физика, Дж. Орир.

Видимо, Популярная физика, 1964. Очень хорошая книжка, но не учебник. Поэтому автор позволяет себе высказываться не слишком строго и более свободно, надеясь на понимание читателями.

[maxcho]

Да, теперь стало понятнее. Я полагал, что любая буква - это переменная. На книге Орира написано "полный курс" поэтому я счел, что ее можно взять как основу, вместо школьного набора учебников. Но мне очевидно не хватает аппарата. Когда речь идет о сложении и умножении, все понятно более или менее, но когда появляются термины, касающиеся дифференциального исчисления, я начинаю путаться и не понимать. То есть не вполне ясно,$x$ минус $x_0$ - это некая разность, которой обозначается пройденный путь или что. И как их вычесть, если непонятно что из чего вычитается. Речь идет о движении вдоль некоего пути вдоль оси $x$ в декартовых координатах, но с числами было бы понятнее.

[Munin]

maxcho в сообщении #1407878 писал(а):

То есть не вполне ясно, х минус х нулевое - это некая разность, которой обозначается пройденный путь или что.

$x-x_0$ - это некая разность. Что она обозначает - надо смотреть по контексту, по физическому смыслу переменных.

Если $x$ - переменная, то $x-x_0$ - это выражение, зависящее от этой переменной, то есть, функция. И её тоже можно рассматривать в разных точках. Например, в точке $x_1$ она принимает значение $x_1-x_0.$ А в точке $x_0$ она принимает значение $x_0-x_0=0.$

maxcho в сообщении #1407878 писал(а):

но с числами было бы понятнее.

Очень многие дети на переходе от средних классов (4-5-6) к старшим (9-10-11) испытывают то же самое: с числами было бы понятнее. Числа - "старые знакомые", конкретные и наглядные. Но работать с числами - это означает сильно ограничивать себя, потому что с числами каждую задачу надо решать заново, как только условия немножко изменятся. А если работать "с буквами", то можно решить задачу один раз, получить в качестве ответа выражение, и оно будет работать для любых чисел (в пределах физического смысла).

И вторая важная вещь. В алгебре (подразумевая школьный предмет) вы работаете с числами как с основным объектом. Ваши действия - это алгебраические операции: сложение, умножение, и так далее. И в качестве ответа вы получаете число.

Но в физике часто нужен математический анализ. В нём основной объект - это функции. И они гораздо богаче по содержащейся информации, по внутренней структуре. И операций с ними намного больше: например, можно функцию сдвинуть $f(x-a),$ можно взять обратную функцию, и наконец, можно взять производную или первообразную. И всё это в физике необходимые инструменты.

Так что, надо "вырастать из коротких штанишек", и числа воспринимать как основу математических конструкций, но не более того. Надо учиться и привыкать к новым объектам и к новому языку, на котором об этих объектах говорят.

[maxcho]

Munin
Спасибо что не жалеете времени мне объяснять эти простые вещи. Многое стало яснее. Грызем дальше.

[Walker_XXI]

maxcho в сообщении #1407854 писал(а):

А что значит $x_0$ Это что? Ведь икс это переменная, что означает нолик?

Что значит $x_0$ можно узнать только из текста - универсальных раз и навсегда закреплённых обозначений нет ни в одной области наук. Есть определённые традиции, но они рекомендательны. Если автор следует традициям в обозначениях - его быстрее и легче поймут, меньше придётся делать пояснений. Но в очень многих книгах по точным наукам перед основным текстом присутствует одна-две странички с расшифровкой условных обозначений.

Икс - переменная. Но в конкретной задаче может быть не одна сотня параметров, для обозначения которых и всего алфавита не хватит. Поэтому придумали к переменным добавлять разные символы (штрихи, тильды, "крышечки" и т.п.) а также нижние и верхние индексы (несколько символов и даже целые слова). Даже в школе все с этим сталкивались. С другой стороны, сходные по смыслу параметры удобно обозначать одной буквой (например, координату по оси $x$ - буквой $x$), а чтобы различать их (скажем, координаты нескольких объектов или одного объекта в разные моменты времени) - присваивать им индексы.

maxcho в сообщении #1407862 писал(а):

Вопрос: почему x, а не S?

А это не принципиально. Можно и $S$/ Но по сложившейся традиции буквой $s$ обозначают пройденный путь, а буквой $x$ - координату по оси х.

maxcho в сообщении #1407862 писал(а):

И зачем приравнивать икс к икс нулевому?

Чтобы решить задачу. В конкретной задаче $x_0$ - фиксированная величина, координата автомобиля "в начальный момент времени". Но в другой аналогичной задаче это может быть другое число, поэтому обозначают, как переменную, а не пишут конкретные цифры. Таким образом мы получаем решение не только одной задачи, но и целого класса аналогичных задач, где автомобиль начинал равномерное движение из другой начальной точки. Равенство $x=x_0$ - это всего лишь отражение факта, что в начальный момент (т.е. при $t=0$) автомобиль имел координату $x_0$.

maxcho в сообщении #1407862 писал(а):

То есть я не понимаю, где эта точка на вещественной оси? Или это промежуток, дельта между x и $x_0$?

Так Вы представьте себе движение автомобиля вдоль прямой с постоянной скоростью. Представьте, что отметили точку старта (и её как-то надо обозначить, чтобы использовать её координаты в формулах, и что она не совпадает с началом оси (ну, так получилось)) - обозначили $x_0$). Тогда всё станет понятнее.

maxcho в сообщении #1407866 писал(а):

А d если речь идет о дифференциальном исчислении это оператор?

Оператор. То, что это оператор, а не какая-то новая переменная, обычно ясно из контекста. Но, разумеется, когда читателя знакомят с началами дифференциального исчисления, то открытым текстом пишут, что и как обозначается.

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1407891 писал(а):

Но в очень многих книгах по точным наукам перед основным текстом присутствует одна-две странички с расшифровкой условных обозначений.

Или пояснения делаются в начале текста: во введении, в первых главах, или в начале отдельной главы, иногда даже в начале отдельного параграфа. На такие пояснения надо обращать внимание. Иногда - выписывать то, что там указано.

Walker_XXI в сообщении #1407891 писал(а):

Но по сложившейся традиции буквой $s$ обозначают пройденный путь, а буквой $x$ - координату по оси х.

Кстати, да. В физике очень многие буквы имеют "традиционный" смысл (или иногда несколько смыслов). Буквой $x$ принято обозначать пространственную координату, буквой $t$ - время. Иногда эти буквы зависят от конкретной обсуждаемой области физики, но обычно это не приводит к конфликтам, а когда приводит - что-то переобозначают.

[maxcho]

У меня еще путаница возникает, потому что есть $x_0$, а есть 0 на оси $x$. Одной из версий было, что это одно и то же и что $x-x_0$ это есть выражение некой разности между пройденным путем $x$ (переменная) и изначальной точкой движения $x_0$, которой соответствует 0 по оси $x$.

[maxcho]

Доброго вечера. Днем писал с телефона, дико неудобно набирать формулы, попробую более конкретно написать вопросы.

Вот пример записи из учебника 10-11 класса (Алимов, Колягин, Сидорова, Просвещение 1992 г.)

$f'(x)= \lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Почему в данном случае ставится$ f'(x)$, а не $f(x)$? Чтобы не путать с функцией, которая задана справа от знака равенства? То есть, если в выражении появится еще она функция, то она будет задана уже как $F''(x)$ или$ f''(x)$?

Второй пример $\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$ в данном случае $C$ - это произвольно выбранная переменная или устоявшееся обозначение? Может ли $C $быть заменено на $D$, к примеру?

И еще один пример: $\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a), F'(x)=f(x)$ - Как научиться такую запись "расшифровывать"? Что в ней, $ a$ - число? а $dx$ - это что? Допустим, в алгебре я могу постепенно, шаг за шагом переходить от $ab, a+b=c$, к более сложным$a^2-b^2; (a+b)^2$ и далее, без скачков к уравнениям $2, 3, n$ степеней. Есть определенная преемственность. А здесь получается, что вот вполне понятная запись $f(x)=y+1$, а потом внезапно появляется $dx$ или $dt$, которые непонятно что. Переменные? Множества? Дельты некоторых изменений функции? Значения скорости изменения функции? Вообще, это правильно при понимании смысла дифференциала, представлять себе,что "вот это путь, который прошла некая точка на графике, вот это "время", за которое она его прошла, а вот это $\frac{s}{t}=v$"скорость изменения функции"?


Добавлено 11.08.2019

Нашел замечательный учебник, который часть вопросов снял. Оказывается, в основе инженерной физики (ради которой, собственно, я и взялся изучать математику), практически везде требуется понимание дифференциального исчисления. Как раз то, о чем выше писал ув. Munin, в книжке Лузина "Дифференциальное исчисление", практически на первых же страницах дается информация о том, какие величины обозначаются первыми буквами латинского алфавита$a, b, c$, а какие последними $x, y, z$.
Таким образом, ответ на мой изначальный вопрос должен был бы звучать так "Возьмите учебник по азам дифференциального исчисления".

Вообще, заметил такую вещь, чем более старый учебник, тем более понятным и естественным языком там описываются понятия, о которых идет речь. Видимо, потому что авторы последующих изданий многие вещи считают данностью, которая всем известна. Наверное, при очном обучении, такие пробелы легко может закрыть лектор, а вот при самостоятельном, приходится на массу вопросов искать ответы ощупью. По каким-то причинам, в школьных учебниках по началам анализа нет таких фактов (на мой взгляд, обязательных, чтобы понимать суть дальнейшего изложения), которые излагаются в первых же главах Зорича или Лузина.