2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Posted automatically
Сообщение30.07.2019, 22:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы или отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.08.2019, 21:24 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
Таким образом, ответ на мой изначальный вопрос должен был бы звучать так "Возьмите учебник по азам дифференциального исчисления".

Добавлю ещё одну книгу
Зельдович. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике (1963).
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников (1982).
Это одна и та же книга, но сильно разные переиздания. На первую книгу очень морщились математики, и Зельдович (физик) к переизданию взял в соавторы Яглома (математика). Однако некоторые, наоборот, считают, что от этого книга потеряла, и рекомендуют именно первый вариант.

Книга интересна тем, что не только объясняет материал "на пальцах" (и даже где-то не имеет математической строгости), но и нацелена на практическое использование в физике, то есть сосредоточена иногда на других темах. Может, хорошо бы, чтобы таких учебников было больше, но она достаточно уникальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 22:06 


01/06/19
108
Munin в сообщении #1409902 писал(а):
maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
Таким образом, ответ на мой изначальный вопрос должен был бы звучать так "Возьмите учебник по азам дифференциального исчисления".

Добавлю ещё одну книгу
Зельдович. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике (1963).
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников (1982).
Это одна и та же книга, но сильно разные переиздания. На первую книгу очень морщились математики, и Зельдович (физик) к переизданию взял в соавторы Яглома (математика). Однако некоторые, наоборот, считают, что от этого книга потеряла, и рекомендуют именно первый вариант.

Книга интересна тем, что не только объясняет материал "на пальцах" (и даже где-то не имеет математической строгости), но и нацелена на практическое использование в физике, то есть сосредоточена иногда на других темах. Может, хорошо бы, чтобы таких учебников было больше, но она достаточно уникальна.

Спасибо за рекомендацию, в общем-то теперь стало понятно, что в первую очередь нужно изучать матанализ, для дальнейшего применения к теоретической механике, теплотехнике и электростатике/электродинамике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
Почему в данном случае ставится$ f'(x)$, а не $f(x)$? Чтобы не путать с функцией, которая задана справа от знака равенства?

Штрих здесь - это общепринятое обозначение производной. На самом деле, у производной много обозначений, прям беда. Но основные два, с которыми сразу же стоит "быть на ты" - это $f'(x)$ и $\dfrac{df}{dx}.$ Причём физики предпочитают обычно $\dfrac{df}{dx}.$ Это не дробь, это единое обозначение. Оно всегда устроено как $\dfrac{d\ldots}{d\ldots},$ в которое подставляются по надобности разные буквы.

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
То есть, если в выражении появится еще она функция, то она будет задана уже как $F''(x)$ или$ f''(x)$?

Если у нас есть несколько функций, то их обозначают обычно $f(x),g(x),h(x)$ или $f_1(x),f_2(x),f_3(x),$ или реже из другой части алфавита: $u(x),v(x),w(x).$

А $f''(x)$ - это вторая производная, то есть производная от функции, которая сама является производной от функции $f(x).$
    $f''(x)=(f')'(x),$ если вам это будет понятней.
    $f''(x)=\dfrac{d^2f}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\Bigl(\dfrac{df}{dx}\Bigr)$ в других обозначениях.

Большой буквой $F(x)$ в этом контексте часто обозначают первообразную, то есть такую функцию, что $F'(x)=f(x).$ Но это не общее правило, нельзя взять какую угодно функцию, и написать большой буквой. Это обозначение почти не используется за пределами нескольких теорем в начале матанализа.

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
Второй пример $\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$ в данном случае $C$ - это произвольно выбранная переменная или устоявшееся обозначение? Может ли $C $быть заменено на $D$, к примеру?

$C$ - это произвольно выбранная постоянная. И в то же время, устоявшееся обозначение для такой постоянной (при взятии интеграла). Если нужно несколько таких постоянных, то обычно пишут $C_1,C_2,C_3,\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 22:48 


01/06/19
108
MuninСпасибо. Кстати, полистал форум, оказывается, не у одного меня на школьном уровне восприятия такая проблема с пониманием физического или геометрического смысла производной. То есть, во-первых, проблема разобраться с обозначением, что в той же формуле $\frac {dx}{dy}$ написано. Раз это не дробь, значит, не имеет место отношение $x$ к $y$. А во-вторых, проблема связать некий физический закон с его записью в дифференциальной форме. Получается, что если речь идет о зависимости скорости от пути, времени от пути, мы представляем себе эту зависимость как функцию и исследуем эту зависимость методами мат.анализа, надеюсь, я верно себе это представляю.

Правильно ли я понимаю, что сущность приложения мат. анализа к физике как раз и заключается в том, чтобы иметь возможность анализировать физические зависимости, соотношения, закономерности, представляя их как функции? Скажем, если речь идет о зависмостях при деформациях материалов или зависимостях связанных с изменением параметров электрического тока, тепловых свойств материалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 22:53 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Да, вы всё верно себе представляете. А как же можно понимать это иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 23:02 


01/06/19
108
Aritaborian в сообщении #1409913 писал(а):
Да, вы всё верно себе представляете. А как же можно понимать это иначе?

Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
maxcho в сообщении #1407974 писал(а):
Допустим, в алгебре я могу постепенно, шаг за шагом переходить от $ab, a+b=c$, к более сложным$a^2-b^2; (a+b)^2$ и далее, без скачков к уравнениям $2, 3, n$ степеней. Есть определенная преемственность. А здесь получается, что вот вполне понятная запись $f(x)=y+1$, а потом внезапно появляется $dx$ или $dt$, которые непонятно что. Переменные? Множества? Дельты некоторых изменений функции? Значения скорости изменения функции?

Ну давайте немного философии.

1. В алгебре вы работаете с числами. Вы осваиваете операции (алгебраические операции):
    сложение, умножение, вычитание, деление
и их свойства. Чтобы говорить о каких-то общих случаях, вы заменяете числа буквами, и переходите к действиям с буквами. Например, вы можете начать с выражения $(a+b)^2,$ и раскрыть скобки, но не можете вычислить его значение до окончательного числа, потому что вам не известно, что надо подставлять в буквы $a$ и $b.$ То есть, вы работаете с формулами из чисел и букв (которые тоже подразумевают числа). И наконец, вы можете поставить задачу: "такая-то формула даёт такое-то число; какие числа в неё подставлены?". То есть, записать уравнение, и начать решать его относительно неизвестных значений букв. Такое уравнение - алгебраическое уравнение - тоже даёт в ответе число.

2. В мат. анализе вы работаете с функциями. Функция - это объект более сложный, чем число, он содержит больше информации. Соответственно, с ними есть тоже множество разных действий, операций. Часть этих действий в школе называют "действия над графиками".

а) Есть поточечные операции с числами ("по-точечные", то есть "по точкам"). Это такие же действия, что и обычные алгебраические операции, они записываются такими же значками. Но смысл здесь таков, что берётся функция и функция, и на выходе в результате получается снова функция:
    $f(x)+g(x)$ - это означает "в каждой точке $x,$ то есть, при каждом значении независимой переменной $x,$ надо сначала вычислить значение функции $f(x),$ а потом значение функции $g(x),$ и их сложить - и это будет значение новой функции в той же точке $x$";
    $k\cdot f(x)$ - это означает "в каждой точке $x$ надо сначала вычислить значение функции $f(x),$ а потом умножить его на $k$ - и это будет значение новой функции в той же точке $x$".

б) Есть алгебраические операции, но уже не поточечные. Например:
    $f(x+c)$ - это означает "в каждой точке $x$ надо сначала сложить $x+c,$ и получить новое число, а потом вычислить значение функции $f$ уже для этого нового числа как независимой переменной - и это будет значение новой функции именно в точке $x$".
Этими действиями можно, например, совершать множество действий с графиками функций: сдвигать по вертикали и по горизонтали, сжимать и растягивать, отражать, и т. д.

в) Обобщение предыдущей идеи - это общая идея замены переменных, или подстановки функции в функцию, или операции композиции функций. А именно:
    $f(g(x))$ - это означает "в каждой точке $x,$ то есть, при каждом значении независимой переменной $x,$ надо сначала вычислить значение функции $g(x),$ а вычислить значение функции $f$ уже для этого нового числа как независимой переменной - и это будет значение новой функции, опять же, именно в точке $x$".
Операция композиции уже позволяет очень мощно конструировать разнообразные функции, но ей не хватает маленькой детали. Спросим себя, если $f$ - какая-то известная функция, то какой должна быть неизвестная функция $g,$ чтобы выполнялось $g(f(x))=x$? То есть, такая функция будет как бы "отменять" действие функции $f.$

г) Операция взятия обратной функции - это такая функция $f^{-1},$ что выполняется $f^{-1}(f(x))=x$ и $f(f^{-1}(x))=x.$ Обратная функция бывает не для всякой функции $f.$ Зато если уж она есть, то $(f^{-1})^{-1}=f$ - то есть, данная функция будет обратной к своей обратной. Несколько примеров обратных функций:
    $\sqrt[n]{x}$ - функция, обратная к $x^n,x\geqslant 0$ (если мы не ограничим область определения для функции возведения в степень, то у неё может не быть обратной);
    $\log_a x$ - функция, обратная к $a^x,a>0,a\ne 1$;
    $\arcsin x$ - функция, обратная к $\sin x,x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ (если мы не ограничим достаточно область определения для функции синуса, то у неё не будет обратной)...

Итак, в этой области $\sin$ - это какая-то конкретная функция, а буквами $f,g\ldots$ обозначаются такие функции, которые ещё не известны, но на их место можно подставлять всякие разные функции (не всегда любые; например, к функции могут быть какие-то требования). И наконец, можно записать функциональное уравнение, то есть такое, в котором некоторая буква $f$ - неизвестная функция, а само уравнение при помощи каких-то операций с ней - выражает какое-то свойство этой функции. (Или система уравнений и несколько функций.) Например:
    $f(x+y)=f(x)f(y)$ - такому уравнению удовлетворяет показательная функция $f(x)=a^x.$
Но всё-таки в таком виде это довольно "скучный" мир (а функциональные уравнения почти все безнадёжно нерешаемы), и недостаточен для надобностей физики и техники. И поэтому в него добавляют ещё

д) Операции дифференцирования и интегрирования. Они выходят за рамки вычисления функций в отдельных точках, и требуют:
    чтобы узнать значение производной от данной функции - знать её значения в какой-то окрестности точки, справа и слева;
    а чтобы узнать значение интеграла от данной функции - знать её значения на каком-то большом промежутке, например, слева от данной точки.
Это не единственные операции такого типа, но с них можно начинать. (Например, есть важные операции свёртки; преобразования Фурье; преобразования Лапласа.)

И уже эти операции позволяют записывать дифференциальные и интегральные уравнения, которые не только часто удачно решаются, но и выражают очень многие идеи и математические модели в физике и других науках. Например:
    $\dfrac{dN}{dt}=-kN$ выражает идею, что какое-то количество $N$ постоянно уменьшается, причём со скоростью, пропорциональной самому этому количеству, например, скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству радиоактивного вещества (а единица вещества распадается с одной и той же скоростью, не меняющейся по времени и от других условий);
    и решение этого уравнения $N=2^{-t/(k^{-1}\ln 2)}$ является законом радиоактивного полураспада, с периодом полураспада, равным $T_{1/2}=k^{-1}\ln 2.$

То есть, вам надо освоить один новый объект - функции. И две новых операции: дифференцирование и интегрирование. Но конечно, это в сумме довольно много новых фактов, и осваивать вы их будете долго и постепенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 23:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
maxcho в сообщении #1409915 писал(а):
Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.
Ну вот смотрите, до чего мы докатились в нашем образовании. До того, что понимание школьной физики и связь применения к ней азов матанализа считают уделом неких «профессионалов». maxcho, я не считаю вас идиотом и точно так же готов помочь вам, как и уважаемый Munin, но я, чёрт возьми, в недоумении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение11.08.2019, 23:57 


01/06/19
108
Aritaborian в сообщении #1409921 писал(а):
maxcho в сообщении #1409915 писал(а):
Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.
Ну вот смотрите, до чего мы докатились в нашем образовании. До того, что понимание школьной физики и связь применения к ней азов матанализа считают уделом неких «профессионалов». maxcho, я не считаю вас идиотом и точно так же готов помочь вам, как и уважаемый Munin, но я, чёрт возьми, в недоумении.

Зато я неплохо играю на скрипке. :) И у меня был очень специфический жизненный путь (спецшкола) не стоит переносить на всех, в массе, думаю, люди у нас более подкованные в точных науках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение12.08.2019, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Надо по-другому спрашивать: зачем физику скрипка :-) Ну, Эйнштейн играл на скрипке, как известно. Вроде бы, для своего удовольствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение12.08.2019, 00:09 


01/06/19
108
Ну да, а Фейнман на бонго. Да и среди знакомых программистов многие говорят «хотели бы мы уметь играть», а я думаю «да что тут такого, я хочу уметь интегралы брать».

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение12.08.2019, 00:09 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
maxcho, откуда ж мне знать, что вы выпускник ЦМШ девяностых, а не среднестатистической средней школы недавних лет. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по обозначениям
Сообщение12.08.2019, 00:15 


01/06/19
108
Aritaborian в сообщении #1409928 писал(а):
maxcho, откуда ж мне знать, что вы выпускник ЦМШ девяностых, а не среднестатистической средней школы недавних лет. :facepalm:

(Оффтоп)

Ну вот :) Жизнь сложная штука...


-- 12.08.2019, 01:17 --

MuninСпасибо за очень доходчивый ликбез. Буду изучать операции над функциями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group