Отношение и разбиение

[beroal]

gogoshik в сообщении #1406025 писал(а):

Определение 3. Разбиением множества $S$ называется семейство $\mathcal{P}$ непересекающихся непустых подмножеств $S$, объединение которых совпадает с $S$.

По-моему, семейство элементов множества $X$ — это функция во множество $X$. А здесь просто множество непересекающихся непустых подмножеств $S$…

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1407019 писал(а):

Если я правильно понял, то здесь будет четыре класса эквивалентности. Множество $\mathbb Z$ очевидно разбивается на классы - остатки от деления на четыре: $[0]_{\sim}, ~[1]_{\sim}, ~[2]_{\sim}, ~[3]_{\sim}$.

Ага. Ну и я думаю выписывать их в явном виде не обязательно.

beroal
Семейством множеств называют и просто множества множеств (часто притом подмножеств чего-то одного, как тут), и функции из какого-то индексного множества — когда как.

[gogoshik]

Спасибо за помощь. Однако, для меня еще не понятны некоторые вопросы по теме. Например, как определить по заданному множеству число различных отношений эквивалентности? Как построить пример какого либо отношения с некоторыми заданными свойствами (пусть несимметричнось и нетранзитивность) на произвольном множестве? Есть какая то методика ответов на эти вопросы?

[beroal]

gogoshik в сообщении #1407205 писал(а):

Например, как определить по заданному множеству число различных отношений эквивалентности?

Число всех возможных отношений эквивалентности на $n$-элементом множестве — это число Белла $B_n$. Это из комбинаторики.

[arseniiv]

gogoshik
Хорошие вопросы.

По поводу первого, раз мы убедились, что каждое отношение эквивалентности связано с единственным разбиением (докажите в обратную сторону, что любое разбиение — это набор классов по некоторому отношению эквивалентности, которое легко определить через разбиение явно), то можно считать количество разбиений. Это не какие-нибудь сочетания или перестановки, но тоже в конце концов поддаётся комбинаторике. beroal уже написал как это число зовут.

По поводу второго: на конечных часто можно просто задать как-то произвольно на нескольких элементах и потом по надобности распространить на остальные, соблюдая свойство. Не очень скучное несимметричное можно например построить уже на множестве $\{1,2\}$, да и нетранзитивное там же, но ещё нагляднее на $\{1,2,3\}$. Пустое или «полное» ($S\times S$) отношения обладают кучей свойств. Отношение предпорядка можно получать естественным образом из графа, отношение частичного порядка — из предыдущего (кроме прочего). В общем тут надо смотреть каждое свойство более-менее отдельно.