кубическое уравнение с рациональными корнями

[TOTAL]

$x^3+3ax^2-\frac35x-a=0$
Пожалуйста, помогите задавать $a$ так, чтобы уравнение имело только рациональные корни (по модулю не больше единицы, различные ). Можно ли это сделать?

[worm2]

Пусть корни уравнения: $x$, $y$ и $z$ (извините, я здесь $x$ переобозначил, но я больше к исходному уравнению не вернусь). По теореме Виета $x+y+z=-3xyz$, $xy+xz+yz=-3/5$. Когда я загнал эту систему в WolframAlpha, она мне выдала:

$$y = \frac{\sqrt{75x^4-66x^2+15}+2x}{5(1-3x^2)}.$$

Значит, $75x^4-66x^2+15=u^2$, где $u\in\mathbb{Q}$. Преобразуем: $25u^2=3(25x^2-11)^2+12$ или, переобозначив, $a^2=3b^2+12$. Приведя рациональные дроби $a$ и $b$ к общему знаменателю $c$, имеем уравнение в натуральных числах: $a^2=3(b^2+(2c)^2)$ (извините ещё раз, я тут опять переобозначил дроби $a$ и $b$ их натуральными числителями). Вспоминаем теорему Ферма—Эйлера: в разложении числа справа на простые множители тройка входит в нечётной степени, а слева — в чётной степени. Значит, уравнение решения не имеет.
Но, может быть, я где-то ошибся.

[TOTAL]

worm2 в сообщении #1407011 писал(а):

Значит, $75x^4-66x^2+15=u^2$, где $u\in\mathbb{Q}$.

Я такую тоже получал. Похоже, облом с рацинальными решениями, спасибо.

[Fizykochemik]

Выразим $a$ через $x$ и построим график.
https://mega.nz/#!5jgCwS4J!MawunwBfwmqs ... 9bb55s8NtI

На отрезке [-1,1] функция $a(x)$ непрерывна кроме точек $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, которые не могут быть решениями.
Следует ли из этого что существует бесконечное множество рациональных чисел $x$ на [-1,1] , каждому из которых будет соответствовать действительное $a$?
Вопрос о рациональности $a$ как я понял не стоит.

Не знаю помогут ли мои рассуждения.

P.S. Жаль что нельзя вставлять графику без ухищрений.

[gris]

Fizykochemik, рассматривая график, можно понять, что при любом значении $a$ уравнение будет иметь три действительных корня. При $a\in [-0.2,0.2]$ все три корня по модулю будут не больше единицы.
При рациональном $a$ один из корней будет рациональным. Но требуется, чтобы все три были рациональны. А это по графику никак не увидеть

[iifat]

Fizykochemik в сообщении #1407033 писал(а):

Вопрос о рациональности $a$ как я понял не стоит

Не стоит он по очень простой причине: $a$ является произведением трёх корней, кои по условию рациональны.

[Fizykochemik]

Из трёх корней 2 сопряженные, поэтому если один из сопряженных корней рационален, то и второй рационален, и наоборот. Если они иррациональны, тогда их произведение видимо будет рационально, что нужно ещё доказать. Правда остаётся неясность с третьим корнем.