2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
$x^3+3ax^2-\frac35x-a=0$
Пожалуйста, помогите задавать $a$ так, чтобы уравнение имело только рациональные корни (по модулю не больше единицы, различные ). Можно ли это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2738
Уфа
Пусть корни уравнения: $x$, $y$ и $z$ (извините, я здесь $x$ переобозначил, но я больше к исходному уравнению не вернусь). По теореме Виета $x+y+z=-3xyz$, $xy+xz+yz=-3/5$. Когда я загнал эту систему в WolframAlpha, она мне выдала:
$$y = \frac{\sqrt{75x^4-66x^2+15}+2x}{5(1-3x^2)}.$$ Значит, $75x^4-66x^2+15=u^2$, где $u\in\mathbb{Q}$. Преобразуем: $25u^2=3(25x^2-11)^2+12$ или, переобозначив, $a^2=3b^2+12$. Приведя рациональные дроби $a$ и $b$ к общему знаменателю $c$, имеем уравнение в натуральных числах: $a^2=3(b^2+(2c)^2)$ (извините ещё раз, я тут опять переобозначил дроби $a$ и $b$ их натуральными числителями). Вспоминаем теорему Ферма—Эйлера: в разложении числа справа на простые множители тройка входит в нечётной степени, а слева — в чётной степени. Значит, уравнение решения не имеет.
Но, может быть, я где-то ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
worm2 в сообщении #1407011 писал(а):
Значит, $75x^4-66x^2+15=u^2$, где $u\in\mathbb{Q}$.
Я такую тоже получал. Похоже, облом с рацинальными решениями, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 14:37 
Аватара пользователя


19/06/14
48
Выразим $a$ через $x$ и построим график.
https://mega.nz/#!5jgCwS4J!MawunwBfwmqs ... 9bb55s8NtI

На отрезке [-1,1] функция $a(x)$ непрерывна кроме точек $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, которые не могут быть решениями.
Следует ли из этого что существует бесконечное множество рациональных чисел $x$ на [-1,1] , каждому из которых будет соответствовать действительное $a$?
Вопрос о рациональности $a$ как я понял не стоит.

Не знаю помогут ли мои рассуждения.

P.S. Жаль что нельзя вставлять графику без ухищрений.

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Fizykochemik, рассматривая график, можно понять, что при любом значении $a$ уравнение будет иметь три действительных корня. При $a\in [-0.2,0.2]$ все три корня по модулю будут не больше единицы.
При рациональном $a$ один из корней будет рациональным. Но требуется, чтобы все три были рациональны. А это по графику никак не увидеть :-(
:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение25.07.2019, 15:57 
Заслуженный участник


16/02/13
3583
Владивосток
Fizykochemik в сообщении #1407033 писал(а):
Вопрос о рациональности $a$ как я понял не стоит
Не стоит он по очень простой причине: $a$ является произведением трёх корней, кои по условию рациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: кубическое уравнение с рациональными корнями
Сообщение26.07.2019, 12:34 
Аватара пользователя


19/06/14
48
Из трёх корней 2 сопряженные, поэтому если один из сопряженных корней рационален, то и второй рационален, и наоборот. Если они иррациональны, тогда их произведение видимо будет рационально, что нужно ещё доказать. Правда остаётся неясность с третьим корнем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group