представимость целых чисел формами

[Yury_rsn]

Подскажите, пожалуйста, есть ли решения такой задачи:
можно ли в явном виде выписать формулы чисел, которые НЕ представимы данной формой второго порядка?

Например, линейная форма от одного переменного вида $ax+b$
Если задать конкретные $a$ и $b$ (допустим, $4x+1$), то мы легко можем выписать формулы для чисел, которые не представимы этой формой - это $4x$; $4x+2$; $4x+3$.

Для линейной формы от двух переменных, эта задача не имеет смысла.
Форма $ax+by+c$ не зависимо от выбранных чисел $a$, $b$ и $c$, начиная с некоторых значений $x$ и $y$, представляет все подряд целые числа, большие некоторого $N$.

Множество значений формы второго порядка от двух переменных $axy+bx+cy+d$, при некоторых фиксированных $a$, $b$, $c$, $d$ - не перекрывает всего множества целых чисел. Т.е., всегда есть числа, которые эта форма не представляет при любых $x$ и $y$.

Ну, и вопрос. Есть ли возможность найти явные формулы - которые бы описывали оставшиеся не представленными целые числа?
Если задача нерешаемая, то есть ли какие-то доказательства на эту тему?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alcoholist]

Yury_rsn в сообщении #1406704 писал(а):

Форма $ax+by+c$ не зависимо от выбранных чисел $a$, $b$ и $c$, начиная с некоторых значений $x$ и $y$, представляет все подряд целые числа, большие некоторого $N$.

А если $a=b=c=2$?

-- Ср июл 24, 2019 06:09:20 --

Yury_rsn
Если использовать обозначения

$$U(a,b)=\{ax+b:x\in\mathbb{Z}\},$$

$$U(a,b,c)=\{ax+by+c:x,y\in\mathbb{Z}\},$$

$$U(a,b,c)=\{axy+bx+cy+d:x,y\in\mathbb{Z}\}$$

для указанных вами множеств значений, то ваши утверждения звучат так:

$$U(4,1)\ne\mathbb{Z},$$

$$\forall a,b,c\in\mathbb{Z}\,\,\,\,\exists N=N(a,b,c)\in\mathbb{Z}\,\,\,\,:\,\,\,\,\{n\in\mathbb{Z}:n>N\}\subset U(a,b,c),$$

$$\exists a,b,c,d\in\mathbb{Z}:U(a,b,c,d)\ne \mathbb{Z}.$$

Первое и третье утверждения верны, второе -- нет.

[Yury_rsn]

alcoholist в сообщении #1406765 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406704 писал(а):

Форма $ax+by+c$ не зависимо от выбранных чисел $a$, $b$ и $c$, начиная с некоторых значений $x$ и $y$, представляет все подряд целые числа, большие некоторого $N$.

А если $a=b=c=2$?

-- Ср июл 24, 2019 06:09:20 --

Yury_rsn
Если использовать обозначения

$$U(a,b)=\{ax+b:x\in\mathbb{Z}\},$$

$$U(a,b,c)=\{ax+by+c:x,y\in\mathbb{Z}\},$$

$$U(a,b,c)=\{axy+bx+cy+d:x,y\in\mathbb{Z}\}$$

для указанных вами множеств значений, то ваши утверждения звучат так:

$$U(4,1)\ne\mathbb{Z},$$

$$\forall a,b,c\in\mathbb{Z}\,\,\,\,\exists N=N(a,b,c)\in\mathbb{Z}\,\,\,\,:\,\,\,\,\{n\in\mathbb{Z}:n>N\}\subset U(a,b,c),$$

$$\exists a,b,c,d\in\mathbb{Z}:U(a,b,c,d)\ne \mathbb{Z}.$$

Первое и третье утверждения верны, второе -- нет.

Спасибо за уточнения и правильные формулировки
Наверное, во втором случае, надо добавить условие, что все $a$ $b$ $c$ ... - взаимно просты между собой.

Но меня, конечно, в основном интересует третий случай - формы второго порядка.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1406799 писал(а):

Но меня, конечно, в основном интересует третий случай - формы второго порядка.

Посмотрите Бухштаб "Теория чисел" 1966 г. стр. 278

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1406805 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406799 писал(а):

Но меня, конечно, в основном интересует третий случай - формы второго порядка.

Посмотрите Бухштаб "Теория чисел" 1966 г. стр. 278

Спасибо!

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406799 писал(а):

Наверное, во втором случае, надо добавить условие, что все $a$ $b$ $c$ ... - взаимно просты между собой.

Не совсем так, но вопрос об описании множества значений линейного выражения $ax+by+c$ при $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ имеет простой ответ. Другое дело нелинейные выражения, хотя бы и частного вида $axy+bx+cy+d$. Здесь вряд ли стоит надеяться получить ответ об области значений в простой форме. Я бы рекомендовал рассмотреть конкретные примеры таких выражений и попытаться сформулировать ответ хотя бы для них. Например, уравнение $(2x+1)(3y+2)=N$ разрешимо в целых числах для любого $N \neq 0$. Легко привести примеры уравнений вида $axy+bx+cy+d=N$, разрешимых для любого $N$. Но вот для уравнения $(3x+1)(5y+2)=N$ вряд ли существует простое описание тех $N$, для которых оно разрешимо (как и тех, для которых оно неразрешимо). Но легко понять, что существует бесконечно много значений $N$, для которых это уравнение разрешимо (как и бесконечно много значений $N$, для которых оно неразрешимо).

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406821 писал(а):

... Другое дело нелинейные выражения, хотя бы и частного вида $axy+bx+cy+d$. Здесь вряд ли стоит надеяться получить ответ об области значений в простой форме. Я бы рекомендовал рассмотреть конкретные примеры таких выражений и попытаться сформулировать ответ хотя бы для них. Например, уравнение $(2x+1)(3y+2)=N$ разрешимо в целых числах для любого $N \neq 0$. Легко привести примеры уравнений вида $axy+bx+cy+d=N$, разрешимых для любого $N$. Но вот для уравнения $(3x+1)(5y+2)=N$ вряд ли существует простое описание тех $N$, для которых оно разрешимо (как и тех, для которых оно неразрешимо). Но легко понять, что существует бесконечно много значений $N$, для которых это уравнение разрешимо (как и бесконечно много значений $N$, для которых оно неразрешимо).

Увидел у себя неточность. Естественно, речь идет не о формах, а о неоднородных выражениях второго порядка.

nnosipov в сообщении #1406821 писал(а):

Я бы рекомендовал рассмотреть конкретные примеры таких выражений и попытаться сформулировать ответ хотя бы для них.

$6xy+x-y$

$12xy+2x+2y+1$.

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406862 писал(а):

$6xy+x-y$

$12xy+2x+2y+1$.

Ну, это в некотором смысле тривиальные примеры (где ответ того же типа, что и в случае линейных выражений). Если один из коэффициентов $a$, $b$ или $c$ равен $\pm 1$, то, очевидно, $axy+bx+cy+d$ принимает все целые значения.

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406869 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406862 писал(а):

$6xy+x-y$

$12xy+2x+2y+1$.

Ну, это в некотором смысле тривиальные примеры (где ответ того же типа, что и в случае линейных выражений). Если один из коэффициентов $a$, $b$ или $c$ равен $\pm 1$, то, очевидно, $axy+bx+cy+d$ принимает все целые значения.

Разве?
Вот таблица первых нескольких строк и столбцов по первой формуле $6xy+x-y$.
$x$ и $y$ пробегают значения от 1 до 6.
Строки и столбцы представляют из себя арифметические прогрессии с очевидным законом возрастания.
И, например, чисел 12, 25, 33, .. в этой таблице нет, и явно уже не будет. И т.д.
Или я вас неправильно понял?

6 11 16 21 26 31
13 24 35 46 57 68
20 37 54 71 88 105
27 50 73 96 119 142
34 63 92 121 150 179
41 76 111 146 181 216

[alcoholist]

Yury_rsn в сообщении #1406877 писал(а):

Или я вас неправильно понял?

мы же про целые $x,y$ говорим

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406877 писал(а):

Разве?

Да, именно так, ведь $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$. Если считать $x$ и $y$ натуральными (целыми положительными), то еще хуже будет (даже с линейными выражениями уже будет проблема). Конкретно для выражения $6xy+x-y$ еще можно будет дать простой ответ, но это случайность.

alcoholist в сообщении #1406884 писал(а):

мы же про целые $x,y$ говорим

Мне тоже так казалось.

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406889 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406877 писал(а):

Разве?

Да, именно так, ведь $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$.

Да. Вы правы.
Просто те варианты, когда $x$ или $y$ равны нулю, а вторая переменная пробегает все целые числа - слишком очевидно-тривиальны, я их не оговорил.
Ок. Давайте для определенности будем рассматривать натуральные числа.

Цитата:

Если считать $x$ и $y$ натуральными (целыми положительными), то еще хуже будет (даже с линейными выражениями уже будет проблема).

а вот с линейными выражениями от двух переменных $ax + by$ именно та ситуация, которую я только что имел в виду - для небольших (относительно $a$ и $b$) значений переменных $x$ и $y$ еще остаются пропущенные числа. Но начиная с некоторого числа $N$ - в натуральном ряду уже пропусков не остается.

Цитата:

Конкретно для выражения $6xy+x-y$ еще можно будет дать простой ответ, но это случайность.

Очень интересует этот простой ответ!
Пожалуйста

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406896 писал(а):

Пожалуйста

Да нет проблем Если не ошибаюсь, это была одна из задач XII Кубка памяти Колмогорова. Ответ таков: натуральное число $N$ представляется в виде $6xy+x-y$ (где $x$ и $y$ --- натуральные же числа) тогда и только тогда, когда число $6N-1$ является простым составным.

-- Ср июл 24, 2019 21:37:53 --

Yury_rsn в сообщении #1406896 писал(а):

а вот с линейными выражениями от двух переменных $ax + by$ именно та ситуация, которую я только что имел в виду - для небольших (относительно $a$ и $b$) значений переменных $x$ и $y$ еще остаются пропущенные числа. Но начиная с некоторого числа $N$ - в натуральном ряду уже пропусков не остается.

Да, это правда.