представимость целых чисел формами

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406897 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406896 писал(а):

Пожалуйста

Да нет проблем Если не ошибаюсь, это была одна из задач XII Кубка памяти Колмогорова. Ответ таков: натуральное число $N$ представляется в виде $6xy+x-y$ (где $x$ и $y$ --- натуральные же числа) тогда и только тогда, когда число $6N-1$ является простым составным.

Прикольно. Но это мало что дает (
Спасибо

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406904 писал(а):

Но это мало что дает (

Такова суровая правда жизни: эффективно (быстро на практике) можно решать только линейные диофантовы уравнения.

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406908 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406904 писал(а):

Но это мало что дает (

Такова суровая правда жизни: эффективно (быстро на практике) можно решать только линейные диофантовы уравнения.

Забыл спросить, если не трудно.
Не могли бы вы вспомнить формулировку задачи с олимпиады?
Интересно стало

[nnosipov]

Yury_rsn в сообщении #1406912 писал(а):

Не могли бы вы вспомнить формулировку задачи с олимпиады?

Пусть $k$ --- натуральное число. Докажите, что, если число $6k-1$ составное, то $k$ можно представить в виде $6mn-m+n$ с натуральными $m$ и $n$.

Это несложная задача.

[Yury_rsn]

nnosipov в сообщении #1406914 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406912 писал(а):

Не могли бы вы вспомнить формулировку задачи с олимпиады?

Пусть $k$ --- натуральное число. Докажите, что, если число $6k-1$ составное, то $k$ можно представить в виде $6mn-m+n$ с натуральными $m$ и $n$.
Это несложная задача.

Интересно
А если составное $6k+1$, то $k$ должно быть представимо в виде $6mn-m-n$ или $6mn+m+n$
Хотя.. эти два выражения эквивалентны относительно одновременной замены знаков у $m$ и $n$

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1406982 писал(а):

nnosipov в сообщении #1406914 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1406912 писал(а):

Не могли бы вы вспомнить формулировку задачи с олимпиады?

Пусть $k$ --- натуральное число. Докажите, что, если число $6k-1$ составное, то $k$ можно представить в виде $6mn-m+n$ с натуральными $m$ и $n$.
Это несложная задача.

Интересно
А если составное $6k+1$, то $k$ должно быть представимо в виде $6mn-m-n$ или $6mn+m+n$
Хотя.. эти два выражения эквивалентны относительно одновременной замены знаков у $m$ и $n$

как-то незаконченный разговор..
Задача интересная, но простая она тогда, когда уже знаешь ответ )))
Делителями любого числа виде $6k-1$ должны быть одновременно числа двух видов - $6m-1$ и число вида $6n+1$. Перемножаем и получаем $(6m-1)(6n+1) = 36mn-6n+6m-1$. Что соответствует $6(6mn-n+m)-1$

Для чисел вида $6k+1$ делителями могут быть или одновременно $6m-1$ и $6n-1$, или $6m+1$ и $6n+1$