2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение16.07.2019, 00:57 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Вот тут

topic133413-45.html

я обосновал, что 2-мерную плоскость в пространстве кватернионов, проходящую через ноль (она же большая окружность трёхмерной сферы) всегда можно задать парой $u,v$ чисто мнимых кватернионов одинаковой длины

$\{x\mid ux=xv\}$

(и любая пара чисто мнимых кватернионов одинаковой длины задаёт плоскость таким способом). Пара $u,v$ определена с точностью до общего не нулевого действительного множителя, поэтому можно их нормировать в норму единица и переписать так (с учётом $vv=-1$)

$\{x\mid uxv=-x\}$

Заметим, что для эллиптического пространства (где мы факторизуем по $\{1,-1\}$) получается как раз особый случай поворота на 180 градусов.
Дальше я вывел ряд формул (некоторые есть по ссылке, но не все):
для точки пересечения прямой (заданной таким способом) и плоскости в эллиптическом пространстве;
для точки пересечения двух компланарных прямых;
для прямой, проходящей через две заданные точки;
условия компланарности и ортогональности прямых.
Но всё это на языке кватернионов с использованием сложения и умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение16.07.2019, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
В старой теме нашёл задачку, которую, как мне кажется, там решили неправильно. Если она тут не в тему, скажите. Мне показалось, что в тему.

Есть матрица поворота 4-мерного пространства
$$\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$$ Довольно просто её получить композицией двух отражений. Можно ли её получить чистыми простыми поворотами, и как? (Указать плоскости и углы, если композиция - то для каждого элемента композиции.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение17.07.2019, 23:18 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Пытаюсь разобраться в адских немецких доказательствах из книги Бахмана и перевести на язык груды. Введём отношение трёх точек $a,b,c$

$ab^{-1}c=cb^{-1}a$

Оно рефлексивно (выполнено, если любые две из трёх совпадают) и симметрично - симметрия точек $a,c$ непосредственно видна, но и точки $a,b$ тоже равноправны, легко вывести

$ba^{-1}c=ca^{-1}b$

В книге Бахмана несколько аксиоматик (проективно-алгебраическая, которую я излагал, и чисто алгебраическая). Одна из аксиом алгебраической аксиоматики утверждает, что это отношение (обозначим его $P(a,b,c)$) транзитивно в таком смысле: если $a\neq b$, то

$P(a,b,c)\wedge P(a,b,d)\Rightarrow P(a,c,d)$

С геометрической точки зрения $P(a,b,c)$ означает, что точки $a,b,c$ лежат на одной прямой (кроме некоторых особых случаев) и транзитивность очевидна. А нельзя ли его алгебраически как-то упростить? Свести к чему-нибудь попроще? Если вдруг кто-то в алгебре силён.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение19.07.2019, 21:00 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Вот теоремку доказал. Напомню, что равенства

$ab^{-1}a=b$

$ba^{-1}b=a$

равносильны между собой и равносильны равенству (в группе)

$ab^{-1}=ba^{-1}$

Если к тому же $a\neq b$, такие точки называются полярными.
Теорема: пусть даны три попарно полярных точки $a,b,c$. Тогда точка $ab^{-1}c$ будет полярной ко всем трём. Проверяется несложным вычислением. Например, полярны между собой точки $1,i,j,k$ (если факторизовать по $\{1,-1\}$)
Теперь хочу обратную теорему: если точки $a,b,c,d$ попарно полярные, то $d=ab^{-1}c$. В произвольной группе это не верно, нужна какая-то дополнительная аксиома. Кто в алгебре силён?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение20.07.2019, 06:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2500
СПб
А часто ли
george66 в сообщении #1406026 писал(а):
точка $ab^{-1}c$
совпадает с $b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение20.07.2019, 06:49 
Заслуженный участник


31/12/15
884
alcoholist в сообщении #1406102 писал(а):
А часто ли
george66 в сообщении #1406026 писал(а):
точка $ab^{-1}c$
совпадает с $b$?

Например, если $b$ середина отрезка $[a,c]$. Точка $ab^{-1}c$ это как бы "сумма векторов $ba$ и $bc$, если точку $b$ принять за нулевую" (но только группа не коммутативная, так что лучше середину записывать как среднее геометрическое $b=\sqrt{ac}$). Например, серединой отрезка $[1,i]$ будет $\sqrt{i}$, у него два значения $(1+i)/\sqrt{2}$ и $(1-i)/\sqrt{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение24.07.2019, 17:01 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Сейчас попробую доказать, что прямая замкнута относительно операции $xy^{-1}z$. Пусть даны три точки $x,y,z$ на одной прямой. Пусть $x\neq z$ (случай $x=z$ надо разбирать отдельно, но там просто). Возьмём произвольную плоскость $A$ проходящую через $x,y,z$ (такая существует по проективным аксиомам)

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$

$ay^{-1}a=y$

$az^{-1}a=z$

Возьмём две вспомогательные плоскости $B,C$

$B=\{u\mid bu^{-1}b=u\wedge u\neq b\}$ где $b=xa^{-1}z$

$C=\{u\mid cu^{-1}c=u\wedge u\neq c\}$ где $c=za^{-1}x$

Проверим, что $b\neq a, c\neq a$ (из этого следует $B\neq A, C\neq A$). Из $b=a$ сейчас выведу $x=z$

$b=a$

$xa^{-1}z=a$

$xa^{-1}=az^{-1}=za^{-1}$ (поскольку $az^{-1}a=z$)

$x=z$

Проверим, что $x,z\in B$ а также $x,z\in C$

$bx^{-1}b=(xa^{-1}z)x^{-1}(xa^{-1}z)=xa^{-1}za^{-1}z=xa^{-1}a=x$ (тут использую $za^{-1}z=a$, что равносильно $az^{-1}a=z$)

$bz^{-1}b=(xa^{-1}z)z^{-1}(xa^{-1}z)=xa^{-1}xa^{-1}z=aa^{-1}z=z$ (тут использую $xa^{-1}x=a$)

и так же для $C$. Далее, получаем $y\in B,C$ поскольку $x,y,z$ лежат на одной прямой (тут используем проективные аксиомы). Теперь докажем, что

$y\in A\Leftrightarrow xy^{-1}z\in B$

$y\in C\Leftrightarrow xy^{-1}z\in A$

Поскольку $y\in A,C$ мы получим $xy^{-1}z\in B,A$ и поэтому $xy^{-1}z$ лежит на одной прямой с $x,z$ (эта прямая будет пересечением плоскостей $B,A$)
Начнём с $xy^{-1}z\in B$ и преобразуем к $y\in A$

$b(xy^{-1}z)^{-1}b=xy^{-1}z$

$b(z^{-1}yx^{-1})b=xy^{-1}z$

$(xa^{-1}z)(z^{-1}yx^{-1})(xa^{-1}z)=xy^{-1}z$

$xa^{-1}ya^{-1}z=xy^{-1}z$

$a^{-1}ya^{-1}=y^{-1}$

$ay^{-1}a=y$

Теперь начнём с $xy^{-1}z\in A$ и преобразуем к $y\in C$

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=xy^{-1}z$

$a(z^{-1}yx^{-1})a=xy^{-1}z$

$(az^{-1})y(x^{-1}a)=xy^{-1}z$

$y=(za^{-1}x)y^{-1}(za^{-1}x)$

$y=cy^{-1}c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение24.07.2019, 20:52 
Заслуженный участник


31/12/15
884
И теперь рассмотрим случай $x=z$. В этом случае $xy^{-1}z$ превращается в $xy^{-1}x$. Это отражение точки $y$ относительно точки $x$, оно лежит на той же прямой, потому что лежит вообще в любой плоскости, содержащей $x,y$. Проверим. Возьмём произвольную плоскость $A$ содержащую $x,y$

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$ что равносильно $ax^{-1}=xa^{-1}$ а также $x^{-1}a=a^{-1}x$

$ay^{-1}a=y$ что равносильно $a^{-1}ya^{-1}=y^{-1}$

Покажем, что $xy^{-1}x\in A$

$a(xy^{-1}x)^{-1}a=ax^{-1}yx^{-1}a=xa^{-1}ya^{-1}x=xy^{-1}x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение25.07.2019, 06:55 
Заслуженный участник


31/12/15
884
И теперь докажем, что если точки $x,y,z$ лежат на одной прямой, то

$xy^{-1}z=zy^{-1}x$

Возьмём произвольную плоскость $A$, содержащую точки $x,y,z$

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$ что равносильно $ax^{-1}=xa^{-1}$

$ay^{-1}a=y$ что равносильно $a^{-1}y=y^{-1}a$

$az^{-1}a=z$ что равносильно $az^{-1}=za^{-1}$

По предыдущей теореме точка $xy^{-1}z$ принадлежит той же прямой, что $x,y,z$ и поэтому тоже принадлежит плоскости $A$

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=xy^{-1}z$

Вычислим левую часть этого равенства

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=az^{-1}yx^{-1}a=za^{-1}yx^{-1}a=zy^{-1}ax^{-1}a=zy^{-1}xa^{-1}a$
$=zy^{-1}x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение17.08.2019, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Мне тут пришло в голову, что хорошо бы составить небольшой задачник по элементарной 4-мерной стереометрии, для выработки надлежащей геометрической интуиции.

Например, это пригодилось бы для понимания простейших вопросов в $\mathbb{C}^2,$ которая тоже уже внезапно 4-мерна над $\mathbb{R}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение19.08.2019, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Согласен. (Заодно апаю эту неплохую тему.) Я как-то немного разбирался со взаимным расположением аффинных подпространств и вот с ортогональными преобразованиями (ну и баловался известными штуками типа сечений и чего ещё там), но этого мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение28.08.2019, 19:24 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Демо-демо-версия геометрической программы.
https://mega.nz/#!W4o3mQyT!Ks_c1hs5BNxl ... NSjuBCKs6w
Там готовая сборка для Win10 x64 и папка sources (можно собрать самостоятельно с помощью Qt). Если кто-то попробует собрать под другими ОС, сообщите мне, что получилось. Можно и нужно двигать ползунки и ставить-убирать галочки в чекбоксах. Можно менять масштаб колёсиком мыши. Можно вращать картинку левой кнопкой мыши (нажать на картинку и потянуть). При нажатии на картинку правой кнопкой мыши вылезает полезная информация (пока только номер фигуры).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение28.08.2019, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Работает в Win7 x64 без перекомпиляции. Покрутил. Не додумался пока что изображено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение28.08.2019, 20:14 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Изображены две плоскости в эллиптическом пространстве (сферы с дырками) и прямая их пересечения (окружность с дыркой). В центре композиции надо представить невидимый шар радиуса единица. Плоскости эллиптического пространства представляются сферами, пересекающими этот шар по большим окружностям. Притом можно брать только внешнюю часть, а можно только внутреннюю, внешняя эффектнее. Как общее впечатление? Что нравится, что не нравится в дизайне? В перспективе будет панель инструментов, можно будет ставить точки в пространстве, проводить прямую через две точки и плоскость через три, находить пересечения и т.д. Это всё в уме готово, но есть проблемы со сглаживанием краёв (если убрать обе плоскости, видно, что прямая мерцает, это проблема).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение28.08.2019, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Надо дождаться может быть ещё того же Munin, я не знаю что посоветовать. Ну разве заменить поля с кнопочками прибавления-убавления слайдерами. Или не заменить, а добавить к ним слайдеры — так и ввести число можно, и менять его настолько быстро или медленно, насколько хочется, что кнопочки не дают из-за фиксированного шага.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group