Достаточно ли рассуждение?

[maxcho]

Munin в сообщении #1406273 писал(а):

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

А есть способ «сломать» эту теорему(?). Попробовал подставить все числа, которые мне известны, все сходится. Есть ли какая-то система, в которой это не будет работать?

Не совсем про эту теорему, но вообще в алгебре следует соблюдать осторожность, пока не выработаны соответствующие навыки. Пример такой: в школе мы проходим тождество (на самом деле, теорему)

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

верную для действительных чисел, однако для 3-мерных векторов и векторного умножения она неверна. А верна формула, выглядящая неожиданно:

$(a-b)(a+b)=2ab$

(Оффтоп)

Ну, это еще предстоит. К слову, мне попался в руки Зорич, и надо сказать, я вообще не вижу там пока пересечений с школьным курсом. По крайней мере, там, где речь идет о множествах, это скорее очень напоминает пары по логике в институте. В целом понятно, но какие-то моменты ускользают, конечно, например, когда он рассуждает о том, противоречиво ли понятие множества всех множеств, в этом месте у меня мозг закипел.

[arseniiv]

maxcho в сообщении #1406266 писал(а):

Можно сказать иначе, «для чайника», для множества, в котором действует распределительный и переместительный закон, которое содержит целые числа?

Кольцо — это больше, чем множество с ассоциативной коммутативной операцией (операциями? из вашего описания даже это не скажешь). Потому собственно и удобно говорить просто одно слово кольцо, чем перечислять каждый раз все его аксиомы, когда оно нам нужно. И чтобы привести пример структуры, для которой ваше утверждение будет неверно, надо будет дать пример какого-нибудь не кольца — и они в известном из школы практически не встречаются. Вот есть множество натуральных чисел — но даже там утверждение окажется верным*. Придётся приводить хитрый пример, и если вы не готовы к изучению терминологии, то готовы ли вы к хитрым примерам?..

* Кстати неплохая задача: какие тождества вида «многочлен равен многочлену» (для простоты можно брать только от одной переменной), верные для $\mathbb Z$, не выполняются для $\mathbb N$?

maxcho в сообщении #1406266 писал(а):

А почему только для целых?

А никто и не сказал, что только для целых. Вот кольца рациональных, вещественных и комплексных чисел содержат и целые.

[maxcho]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1406260 писал(а):

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

Есть ли какая-то система, в которой это не будет работать?

Это тождество верно в любом кольце, содержащем целые числа.

Вот же. Или это нужно понимать как «целые числа [...и не только целые...]?

Цитата:

и если вы не готовы к изучению терминологии, то готовы ли вы к хитрым примерам?..

я не сказал, что не готов, я сказал, что мне непривычно. ну знаете наверное, когда что-то пытаешься усвоить, «проговариваешь» внутри себя смысл. я так же над множествами пыхчу: $\in значит принадлежит, \forall - таааак это типа Any вверх ногами - для всех, $ и т.д.

[arseniiv]

maxcho в сообщении #1406280 писал(а):

Или это нужно понимать как «целые числа [...и не только целые...]?

Да, сказано только, что целые туда входят, и не сказано, что другие не входят. Притом как дальше сказал nnosipov, достаточно даже того, чтобы в кольце была единица. Это эквивалентно тому, что существует единственный гомоморфизм из $\mathbb Z$ (как кольца) в интересующее кольцо, чтобы мы могли сопоставить «единственно верное понимание» символам 1, 2, 3, … (а так же −1, −2, … — а 0 у нас уже был изначально по определению кольца), определяя например $3 = 1 + 1 + 1$. Аналогично можно в любом полукольце (грубо говоря это кольцо, в котором плохо с обращением знака, и один из примеров — $\mathbb N$), если там есть единица, говорить про 1, 2, 3, … (но уже не −1, −2, …). При этом там вполне могут быть элементы, не представимые в виде суммы единиц (или суммы минус единиц), как это заметно по тем же $\mathbb{Q,R,C}$. (Про полукольца пока не думайте, троица «группа, кольцо, поле» важнее. Стоит только знать, что всегда есть хитрые структуры, достаточно полезные, чтобы была ещё куча менее распространённых алгебраических абстракций типа полукольца, решётки, моноида и пр., чтобы не пытаться в таком случае пытаться безуспешно сделать из них группу или там кольцо.)

maxcho в сообщении #1406280 писал(а):

я не сказал, что не готов, я сказал, что мне непривычно. ну знаете наверное, когда что-то пытаешься усвоить, «проговариваешь» внутри себя смысл.

Ну, может. Я не помню, проговариваю или нет, но состояние непривычности, когда что-то изучаешь, вроде и должно быть.

[maxcho]

(Оффтоп)

Ну здорово. Здорово, что даже в таком простом примере если углубиться, можно столько нового узнать. Раньше я бы просто его решил как примерчик и дальше пошел. Хотя пока мне приходится каждый раз открывать справочник, чтобы вспомнить, что есть числа $\mathbb {R}, \mathbb {N}$и пр.

[Someone]

(maxcho)

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

Попробовал подставить все числа, которые мне известны, все сходится.

А сколько чисел Вам известно? С дюжину наберётся?

[maxcho]

(Оффтоп)

Цитата:

Someone в сообщении #1406314 писал(а):

(maxcho)

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

Попробовал подставить все числа, которые мне известны, все сходится.

А сколько чисел Вам известно? С дюжину наберётся?

$\mathbb {C},{R},{Q},{Z},{N}$ хм, нет, дюжины не будет, пять всего. Но может Вы любезно подскажете...

[Someone]

(maxcho)

maxcho в сообщении #1406328 писал(а):

$\mathbb{C,R,Q,Z,N}$

(Формулу я чуть-чуть отредактировал. Для красоты.) Это не числа, это множества. Их подставить в алгебраическое выражение нельзя. Похоже, что ни одного числа Вы не знаете… Тогда не удивительно, что Вы все известные числа подставили.

[maxcho]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1406332 писал(а):

(maxcho)

maxcho в сообщении #1406328 писал(а):

$\mathbb{C,R,Q,Z,N}$

(Формулу я чуть-чуть отредактировал. Для красоты.) Это не числа, это множества. Их подставить в алгебраическое выражение нельзя. Похоже, что ни одного числа Вы не знаете… Тогда не удивительно, что Вы все известные числа подставили.

Хорошо, вы меня выставили идиотом, не знающим ни одного числа и не отличающим чисел от множеств. Надеюсь, вам это доставило удовольствие. Давайте закончим на этом.

[Someone]

(maxcho)

maxcho в сообщении #1406333 писал(а):

вы меня выставили идиотом

Извините, даже не собирался. Всем ясно, что числа Вы знаете, но ваши фраза про подстановку всех известных чисел позабавила форум. Никто Вас идиотом не считает, но старайтесь применять термины аккуратно, чтобы ваша фраза имела именно тот смысл, который Вы имели в виду.

[Munin]

Someone в сообщении #1406336 писал(а):

Всем ясно, что числа Вы знаете

По крайней мере, некоторые...

[maxcho]

(Оффтоп)

Цитата:

Извините, даже не собирался. Всем ясно, что числа Вы знаете, но ваши фраза про подстановку всех известных чисел позабавила форум. Никто Вас идиотом не считает, но старайтесь применять термины аккуратно, чтобы ваша фраза имела именно тот смысл, который Вы имели в виду.

Хорошо, буду внимательнее, спасибо за совет. Рад что моя писанина кого-то повеселила.

[mihaild]

Munin в сообщении #1406246 писал(а):

Выбрасываете $\ne 6$ из каждой строчки.

Еще нужно переходы в обратную сторону записать тогда. $6 = 6 \Rightarrow 3a + 6 - 3a = 6 \Rightarrow \ldots$. Ну или хотя бы стрелочки развернуть $3(a + 2) - 3a = 6 \Leftarrow 3a + 6 - 3a = 6 \Leftarrow \ldots$.

[Munin]

Дык стрелочки там двухсторонние.

[mihaild]

Там изначально "следовательно". Это $\Rightarrow$.