Достаточно ли рассуждение?

[maxcho]

Доброго дня всем.

Доказать, что при любом $a$, значение выражения $3(a+2)-3a=6$
Пусть $3(a+2)-3a\neq6$
Тогда $3a+6-3a\neq6$
Следовательно $6\neq6$.

Доказано ли в данном случае утверждение?

[Евгений Машеров]

Доказательство от противного, вполне корректное (ну, ещё слово - "приходим к противоречию"). Но зачем?

(Оффтоп)

Половое излишество - паркетный пол линолеумом покрывать.

[maxcho]

Евгений Машеров в сообщении #1406234 писал(а):

Доказательство от противного, вполне корректное (ну, ещё слово - "приходим к противоречию"). Но зачем?

(Оффтоп)

Половое излишество - паркетный пол линолеумом покрывать.

Я ж самоучка, решил как смог. А что, можно проще?

[Munin]

Можно было. Выбрасываете $\ne 6$ из каждой строчки.

[maxcho]

Munin в сообщении #1406246 писал(а):

Можно было. Выбрасываете $\ne 6$ из каждой строчки.

Ув. Munin, а как в таком случае звучит доказательство? То есть смысл понятен, что при любом а части равны по модулю и различны по знаку, вследствие чего взаимоуничтожаются, но как это правильно описать? И есть какая-то методическая литература, как оформлять доказательство или это не регламентируется?

[alcoholist]

maxcho
Левая часть равенства $3(a+2)-3a=$дистрибутивность$=3a+6-3a=$коммутативность$=3a-3a+6=6$.
Правая часть равенства $6$.
Совпадают! Равенство доказано.

[Munin]

"Проделаем с левой частью эквивалентные преобразования: $3(a+2)-3a=3a+6-3a=6.$"
Никаких "от противного" вообще не нужно.

-- 21.07.2019 12:51:01 --

alcoholist
Обоснование последнего знака равенства забыли! $\ldots=3a-3a+6=$ противоположные элементы $=0+6=$ нейтральность нуля $=6$.

-- 21.07.2019 12:52:16 --

Плюс ещё пару раз используется ассоциативность сложения, плюс дефиниция вычитания, но это можно опустить.

[maxcho]

Я конечно извиняюсь что с такой простой задачкой, но мне все равно не до конца понятно. Вот мы путем двух преобразований показали, что левая часть равна правой. Но ведь в исходном выражении утверждалось по сути то же самое, просто в «свернутом» виде. Правильно ли я понимаю, что доказывание в данном случае - это упрощение выражения до степени, когда очевидно равенство левой и правой части? Я пытаюсь уловить на этом примере, что есть доказательство в принципе.

[alcoholist]

maxcho в сообщении #1406254 писал(а):

когда очевидно равенство левой и правой части

не "очевидно", а они совпадают. Как говорится: "Это гораздо больше, чем факт. Так оно и было на самом деле."

[maxcho]

alcoholist в сообщении #1406256 писал(а):

maxcho в сообщении #1406254 писал(а):

когда очевидно равенство левой и правой части

не "очевидно", а они совпадают. Как говорится: "Это гораздо больше, чем факт. Так оно и было на самом деле."

Ну то есть доказательство в том, что члены с переменной показали взаимное уничтожение и после этого 6 и 6 совпали. А в изначальном примере не было совпадения.

А есть способ «сломать» эту теорему(?). Попробовал подставить все числа, которые мне известны, все сходится. Есть ли какая-то система, в которой это не будет работать?

[alcoholist]

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

Есть ли какая-то система, в которой это не будет работать?

Это тождество верно в любом кольце, содержащем целые числа.

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #1406260 писал(а):

Это тождество верно в любом кольце, содержащем целые числа.

Я бы сказал, в любом кольце с единицей.

[maxcho]

nnosipov в сообщении #1406265 писал(а):

alcoholist в сообщении #1406260 писал(а):

Это тождество верно в любом кольце, содержащем целые числа.

Я бы сказал, в любом кольце с единицей.

Мне пока непривычны эти термины. Можно сказать иначе, «для чайника», для множества, в котором действует распределительный и переместительный закон, которое содержит целые числа? А почему только для целых? a ведь может быть дробным и тогда равенство все равно верное.

[nnosipov]

maxcho в сообщении #1406266 писал(а):

Мне пока непривычны эти термины.

Надо просто попривыкнуть, здесь нет ничего сложного. Знакомиться с элементами абстрактной алгебры надо постепенно, разбирая параллельно конкретные примеры (в данном случае --- колец). Группы, кольца, поля, etc. --- вот примерно по такой программе.

[Munin]

maxcho в сообщении #1406257 писал(а):

А есть способ «сломать» эту теорему(?). Попробовал подставить все числа, которые мне известны, все сходится. Есть ли какая-то система, в которой это не будет работать?

Не совсем про эту теорему, но вообще в алгебре следует соблюдать осторожность, пока не выработаны соответствующие навыки. Пример такой: в школе мы проходим тождество (на самом деле, теорему)

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

верную для действительных чисел, однако для 3-мерных векторов и векторного умножения она неверна. А верна формула, выглядящая неожиданно:

$(a-b)(a+b)=2ab$