Перенос импульса динамически деформированной средой

[Geen]

meandr в сообщении #1405639 писал(а):

Разницу я бы назвал не принципиальной, а критериальной

Не вижу критерия.
И не вижу оснований применять разные уравнения для "периодического" и "недлительного" возмущения.

[meandr]

Что Вы называете "разными уравнениями" и где вы их у меня увидели ?
Если Вы имеете в виду волновое уравнение Даламбера в частных производных для распространения деформации в среде, то я полагаю его одним и тем же и для основного периодического возмущения, и для короткого импульса - с одной и той же характеристической скоростью распространения относительно среды.
Именно это я выразил первой строкой в стартовом посте

meandr в сообщении #1402911 писал(а):

Есть некоторая упругая среда, в которой малые возмущения (деформации) передаются со скоростью с.

Именно это я постарался выполнить во всем решении.
Именно это вызвало трудность при описании процесса в выбранной системе отсчета, поскольку полагаемые длительные (и длинные в смысле длины волн) периодические возмущения описываются весьма просто обычным тригонометрическим уравнением с независимыми координатами длины и времени, а короткий импульс возникает и распространяется в среде, которая уже движется. Поэтому в соответствующих уравнениях (в эйлеровых координатах выбранной системы отсчета) для импульса скорость $c$ приходится складывать с соответствующей локальной скоростью среды $v(x,t)$ и возникает "рекуррентность" в смысле зависимости скорости от вычисляемого пути, о которой я писал в начале.
Однако, с помощью Ms-dos4 и матпакета Maple эта трудность не так уж сложно и вполне адекватно разрешена.

[Munin]

meandr в сообщении #1405690 писал(а):

Если Вы имеете в виду волновое уравнение Даламбера в частных производных для распространения деформации в среде, то я полагаю его одним и тем же

Простите, а вы не будете так любезны его выписать? А то вы только какие-то другие формулы сразу пишете.

Тогда не придётся писать "я старался выполнить", а достаточно будет показать, что какое-то решение при подстановке в уравнение удовлетворяет ему. Или не.

[Geen]

meandr в сообщении #1405690 писал(а):

Именно это я постарался выполнить во всем решении.

Нет, это не так.

meandr в сообщении #1405690 писал(а):

возникает и распространяется в среде, которая уже движется

Вы это уже писали, но до сих пор не обосновали.

Представим "исходную динамическую деформацию" в виде суммы двух одинаковых волн....

[Утундрий]

Да нет здесь никакой модели... А сама задача, наверняка, навеяна "улиткой Сахарова".

[meandr]

Geen в сообщении #1405698 писал(а):

Вы это уже писали, но до сих пор не обосновали.

Ладно, перейдем к обоснованиям.
Но не математическим, которые Вы с Мунином от меня требуете (с этим повременим), а к практическим, на более наглядном примере.
По поверхности воды в направлении оси Х бегут волны с циклической частотой $W$ и скоростью $c$, определяемой в теории поверхностных волн.
Из той же теории известно, что поверхностные части воды совершают пространственные циклические движения по горизонтали и вертикали с той же частотой $W$, близкие к окружности с радиусом $R$ и со скоростью $V=WR$.

На гребень волны (где скорость воды равна $V$ в направлении Х) упал камень (монета и т.п) - возник одиночный импульс.

Вы с Мунином можете назвать объективные физические основания считать, что скорость волнового возмущения, вызванного камнем, отсчитываемая по оси Х в выбранной системе отсчета, с самого начала должна быть равна $c$ а не $c+V$, как полагаю я и получаю в предъявленном решении?

Понимаю, что поверхностные волны - это не совсем те упругие деформации среды, о которых я писал вначале, но в контексте обсуждения волновых процессов считаю такую аналогию весьма приемлемой.

Утундрий в сообщении #1405699 писал(а):

А сама задача, наверняка, навеяна "улиткой Сахарова".

Не слышал о такой и не читал. Поищу.

[Утундрий]

Если убрать все витиеватые ветвящиеся великопоэтические верлибры, то имеется некая колеблющаяся "среда" в которой с постоянной относительной скоростью движется "нечто". Почему так? Потому что захотелось.

[Geen]

meandr в сообщении #1405705 писал(а):

Ладно, перейдем к обоснованиям.

meandr в сообщении #1405705 писал(а):

Вы с Мунином можете назвать объективные физические основания

Это Ваше "обоснование"? в виде встречного вопроса не относящегося к теме?

[meandr]

Так это ведь Вы требуете от меня обосновать, почему 2+1=3, а не 2, как Вам почему-то хочется. Впрочем, эта арифметическая аналогия - тоже "не относится к теме", как Вы считаете.
Мне нужно было решение поставленной задачи - я его получил.
И по сему заканчиваю.
Sapienti sat

[Geen]

Утундрий в сообщении #1405720 писал(а):

имеется некая колеблющаяся "среда" в которой с постоянной относительной скоростью движется "нечто".

Ну не обязательно "в ..." - можно и таракана по резиновой ленте запустить...

[Munin]

Формул нет -> skip everything else.

[DimaM]

meandr в сообщении #1405623 писал(а):

Потому что этот импульс создается и распространяется в динамически деформированной среде, которая сама движется с описанной выше скоростью $v(x,t)$.

Если это учитывать, то синусоидальные волны постепенно перестают быть синусоидальные, а превращаются во что-то вроде пилы с резким передним фронтом.

[Geen]

DimaM в сообщении #1405929 писал(а):

превращаются во что-то вроде пилы

А нельзя - заявлено что дисперсии нет

[Утундрий]

Geen в сообщении #1405770 писал(а):

можно и таракана по резиновой ленте запустить...

Это, кстати, и есть задача Сахарова: улитка (таракан) на линейно растягивающейся ленте.

[meandr]

Geen в сообщении #1405970 писал(а):

DimaM в сообщении #1405929 писал(а):

превращаются во что-то вроде пилы

А нельзя - заявлено что дисперсии нет

Описанный эффект - это не дисперсия и дисперсия тут не нужна.
Дисперсия означает, что у волн разной частоты (и длины волны) разная скорость распространения в среде при одном и том же ее макроскопическом состоянии (макроскопическое состояние определяется критериально усреднением на расстоянии, много большем длины волны).
Применительно к задаче - дисперсия проявилась бы в том, что скорость "несущих" волн была бы разной при различных частотах $W$, и импульс (считая его короткой единичной синусоидальной волной) двигался бы с другой скоростью ВСЕ ВРЕМЯ, независимо от фазы несущей волны в момент возникновения импульса, и без "синхронизации" скорости впоследдствии, которая происходит в описанном процессе (то есть как пуля, со временем обгоняющая брошенные до нее камни).

Пилообразность, упомянутая DimaM, чуть ближе к сути описанного, поскольку связана с состоянием среды на расстояниях, меньших чем длина волны. Например, в газе скорость распространения изменений состояния (возмущения) однозначно связана с локальной температурой, а температура связана с состоянием газа. Это вызывает внутреннюю нелинейность волнового уравнения в том смысле что входящая в него $c$ перестает быть константой и динамически зависит от искомого состояния. По этому принципу формируется ударная волна при сильных возмущениях или "пила" из поверхностных волн в воде.
Замечу, что в изначально синусоидальном возмущении прежде всего возникнет "пилообразность" - искажение первоначальной формы с появлением гармоник (это произойдет и при отсутствии дисперсии) - а потом уже проявится дисперсия применительно к возникшим гармоникам (в волнах появятся биения, вплоть до знаменитого "девятого вала").

При выяснении сути описанного мной процесса этими тонкостями можно пренебречь - я принял $c$ константой для всех длин волн (нет дисперсии) и пренебрег вариациями $c$ при изменении параметров состояния среды, за исключением ее скорости (кинетической энергии или импульса направленного движения среды).

Замечу также, что традиционный учет вариаций скорости $c$ в зависимости от термодинамических параметров состояния (в число которых не входит импульс собственного переносного движения среды) вывел бы импульс на "гребень" волны (с минимальным смещением среды и максимальной скоростью ее собственного переносного движения). Импульс, возникший на "гребне" или во "впадине", там бы и остался, никуда бы по волне не смещался (двигаясь синхронно с волной).
В моем же примере импульс изначально возникает именно на "гребне" и смещается оттуда вперед на склон волны, где скорость собственного переносного движения среды минимальна, а ее смещение максимально (в принятом для деформации смысле) - и потом фиксируется в этом состоянии, как серфингист фиксируется на склоне волны .

-- Сб июл 20, 2019 11:08:58 --

Не очень хотел писать все эти

Утундрий в сообщении #1405720 писал(а):

витиеватые ветвящиеся великопоэтические верлибры

но правила форума требуют от топикстартера хотя бы один раз отвечать на любые мало-мальски обоснованные возражения.

Munin в сообщении #1405773 писал(а):

Формул нет -> skip everything else.

Формулы есть и они вполне адекватно описываю процесс.
Если Вы настаиваете на записи именно волнового уравнения Даламбера в частных производных, то применительно к вещественным средам $c$ там уже не будет постоянной.
Помимо традиционных факторов, в общем случае влияющих на параметр $c$ (но которыми я пренебрег для выделения главного), я учел еще и влияние собственного переносного движения среды (ее импульса).
Как это повлияет на решения волнового уравнения - нужно исследовать теоретикам.
Я много раз встречал тезис, что волновое уравнение не инвариантно к смене системы отсчета (то есть на практике - к учету переносного движения среды в системе, не сопутствующей самой среде). И проблемы с "классическим" учетом такой неинвариантности настолько сложные, что явились одной из причин возникновения СТО. Так это ведь в сравнительно простом случае, когда ко всей среде нужно прибавить какую-то одну переносную скорость.
У меня же случай сложнее - прибавляется переменная переносная скорость среды, величина которой зависит от искомого решения.
Мне кажется, аналогии решения такой задачи можно найти в ОТО, где скорость света - локальная переменная. Но там задача не рекуррентная в том смысле,что деформации пространства-времени, определяющие $c$ , однозначно заданы определением сингулярностей гравитирующих масс (хотя рекуррентность решения наверное возникает при учете запаздывания гравволн, в свою очередь влияющих на координаты сингулярностей).
Я в ОТО - профан, могу ошибаться.
Но если такая аналогия действительно присутствует, то я удивлен тем, что рассуждения насчет "удивительных" ОТО-свойств пространства-времени поддерживаются и поощряются, а аналогичные задачи касаемо свойств волн в вещественных средах пресекаются на корню или в лучшем случае сводятся к задаче улитки на резине.

Так что с головоломкой волнового уравнения Даламбера я пока повременю - даже если я найду нужную форму и решение с пояснениями, это вряд ли кого-то убедит.
Лучше попробую провести натурный эксперимент.