Связь между дифф. и непрерывностью частных производных

[btoom]

В одном из экзаменационных билетов для аспирантов, обнаруженных в сети, есть вопрос с несколько смущающей формулировкой:

"Непрерывность и дифференцируемость функции многих переменных в точке и области. Частные производные. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью частных производных."

Почему-то меня это задело - эта "связь". Интересно, что же тут имеется ввиду. Как считаете, достаточно ли следующего для ответа?

Для дифференцируемости функции в точке достаточно непрерывности в этой точке частных производных. Если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна.
Обратное по умолчанию не является верным: существование частных производных в точке не гарантирует непрерывности в точке.

Возможно, стоит что-то (разумеется, кроме аккуратного оформления и доказательств, неудобных для набора с телефона) добавить. Но как по мне, имелось ввиду именно это.

Возможно, я зря ищу скрытый смысл. Или что вопрос не совсем для этого раздела.

[ewert]

btoom в сообщении #1402985 писал(а):

Для дифференцируемости функции в точке достаточно непрерывности в этой точке частных производных. Если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна

Ровно первое -- второе к делу не относится.

Точнее, почти ровно. Полезно ещё добавить, что из дифференцируемости не следует непрерывность частных производных (и даже их существование в проколотой окрестности).

[gris]

В учебниках (Ф, З, К) в формулировке соответствующей теоремы ещё требуется существование частных производных в некоторой окрестности точки. Может быть, в этом заключается "скрытый смысл"

[ewert]

gris в сообщении #1402993 писал(а):

ещё требуется существование частных производных в некоторой окрестности точки

Это лишь для приличия -- формальной необходимости в этой оговорке нет: непрерывность производных в точке подразумевает их существование в некоторой окрестности этой точки.

[gris]

Да, но почему-то все они потом приводят следствие, что если частные производные непрерывны в точке, то функция непрерывна в этой точке. Я чего-то и не вспомню подробности Может быть закладываются на гильбертово пространство Или на допущение односторонности?
Впрочем, ТС написал слово "область", тогда да.

[ewert]

gris в сообщении #1402998 писал(а):

почему-то все они потом приводят следствие, что если частные производные непрерывны в точке, то функция непрерывна в этой точке.

Почему бы и не привести как банальщину, если к слову придётся. Но непосредственно в вопросе фигурируют только дифференцируемость и частные производные. Непрерывность самой функции в эту комбинацию не укладывается -- явно чужеродный элемент.

Впрочем, "кто этих пчёл разберёт" (с).

[gris]

Вы месяц назад хвалили Кудрявцева за экономию типографской краски на непрерывности, а тут целых три авторитетных автора расточительно дозволяют избыточность в условие теоремы. Невольно начнёшь искать скрытый смысл. Это, конечно, мелочь. (Интересно, как в СПб озвучивается фраза "количество независимых переменных, конечно, конечно").

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1403032 писал(а):

Вы месяц назад хвалили Кудрявцева за экономию типографской краски на непрерывности,

Вы за месяц уже всё забыли -- я его наоборот ругал. За благие намерения, которые известно что.

gris в сообщении #1403032 писал(а):

Интересно, как в СПб озвучивается фраза "количество независимых переменных, конечно, конечно

Ровно как и везде -- как "да нет, наверное".

[btoom]

Всем спасибо.

Интересно, много ли примеров функций, не являющихся непрерывными в некоторой точке, но дифференцируемыми в ней же и не кусочно заданными. Обратные-то примеры популярны, функция Вейерштрасса как самый ударный пример.
Для случая одной переменной, как известно, если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна. Зорич (глава 8, параграф 2.4) приводит два примера, но вдруг можно проще. Признаться, не нашел.

[gris]

Самые разные контрпримеры легче представлять графически, а не формулой. Например, на плоскости может вскочить гладкий финитный прыщик. Можно представить, что их много и они сходятся к некоторой точке по спирали. Я даже не соображу, к чему это может быть контрпримером, но к чему-то подойдёт. Теорем о необходимых и достаточных условиях так много.

[ewert]

btoom в сообщении #1403268 писал(а):

Интересно, много ли примеров функций, не являющихся непрерывными в некоторой точке, но дифференцируемыми в ней же и не кусочно заданными.

Ровно ноль примеров.

Там пафос-то в другом. Если есть такая замечательная штука, как дифференцируемость в данной точке, то из этого ничего не следует насчёт поведения в окрестности этой точки.

Ровно ничего. И уж раз это верно для одномерного случая -- тем более верно для многомерного.