Set-builder нотация для множества иррациональных чисел

[ewert]

arseniiv в сообщении #1402113 писал(а):

Но чтобы прям например последовательности Коши были связаны с практическими потребностями?

Ровно так. При практическом вычислении (т.е. при нахождении приближённого решения) у нас нет ничего, кроме "последовательностей Коши". Ничто другое нам просто не доступно. И если нет уверенности в том, что эти последовательности хоть к чему-то сходятся -- всё рушится.

[podih]

arseniiv
Не надо любое. Приведите определение иррациональных чисел, не применяя частицы "не".
Полазил по словарям. Что только конструктивностью не называют.
Я имел ввиду его привычный смысл: описание существующих свойств феномена, а не отсутствующих.
Т.е. "человек это животное на двух ногах и без перьев" определение деструктивное.

[ewert]

podih в сообщении #1402121 писал(а):

Приведите определение иррациональных чисел, не применяя частицы "не".

Это невозможно. Найдите значение приставки "ир".

[podih]

ewert
Я его знаю. И о невозможности я и говорил сначала.

[ewert]

podih в сообщении #1402123 писал(а):

Я его знаю. И о невозможности я и говорил сначала.

Тогда зачем Вы добиваетесь невозможного, раз за разом требуя определение именно иррационального числа?

[podih]

ewert
Я возражал этому тезису:

arseniiv в сообщении #1402113 писал(а):

Любое множество можно записать в виде $\{x\mid\ldots\}$

(Оффтоп)

Хотя, чувствую, сейчас начнётся.

[ewert]

podih в сообщении #1402125 писал(а):

Я возражал этому тезису:

arseniiv в сообщении #1402113 писал(а):

Любое множество можно записать в виде $\{x\mid\ldots\}$

А это действительно правда -- то, что любое множество можно определить аксиоматически. В т.ч. и множество вещественных чисел, надо только добавить к аксиомам поля, порядка (и при необходимости Архимеда) ещё и аксиому полноты/непрерывности -- в каком-либо из эквивалентных вариантов.

Другое дело, что подобное всегда происходит апостериори. Аксиомы не сваливаются с потолка, а возникают из практических надобностей. В случае вещественных чисел кровь из носу было необходимо обеспечить выполнение критерия Коши (сходимость равносильна фундаментальности). Соответственно, выполнение этого критерия и является наиболее идейным вариантом той самой дополнительной аксиомы полноты.

Фактически сам Коши и ввёл свой критерий как аксиому -- доказать его он не мог, т.к. чёткого понимания того, что такое вещественные числа, в те времена ещё не было. Но аксиомой не называл; аксиоматика сложилась гораздо позже.

После же того, как этот критерий был сформулирован, начался поиск точных моделей, которые ему бы соответствовали. Выяснилось, что соответствует множество бесконечных десятичных (вообще позиционных) дробей. Или дедекиндовых сечений. Или канторовых классов эквивалентности фундаментальных последовательностей (что наиболее абстрактно, но зато ближе всего к исходной потребности и наиболее перспективно).

И лишь потом, как завершающий аккорд, сформировалась аксиоматика, обобщающая эти конструктивные модели. Поскольку выяснилось, что любое множество, удовлетворяющее данному набору аксиом можно отождествить (установить его изоморфизм) с любой из этих моделей -- и в этом смысле такое множество единственно.

[podih]

ewert
Вот я и попросил arseniiv привести определение.
Вы можете привести аксиомы, определяющие класс иррациональны чисел?

[ewert]

podih в сообщении #1402128 писал(а):

Вы можете привести аксиомы, определяющие класс иррациональны чисел?

Нет, не могу; на бессмысленный вопрос ответить невозможно.

[podih]

ewert
На грубость и нелогичность ЗУ ответить можно, но только один раз.
Потому закругляюсь.

[eanmos]

arseniiv в сообщении #1402113 писал(а):

Существует, и не одна (например та же теория множеств ZFC с некоторыми добавлениями для экзотических случаев), но для понимания математики они не нужны.

Благодарю за конструктивный ответ.

[mihaild]

podih в сообщении #1402121 писал(а):

определение иррациональных чисел, не применяя частицы "не"

Вещественные числа с мерой иррациональности, большей $1$.Сойдет?

[Connector]

mihaild в сообщении #1402191 писал(а):

Вещественные числа с мерой иррациональности, большей $1$.Сойдет?

Или так: $r$ $\in$ $\mathbb{R}$ и $I_{\mathbb{Q} }(r)$ $=$ $0$ ! Если уж на то пошло, то вещественные числа можно определить как сечения в множестве рациональных; тогда иррациональные числа — это щели (определить щель, не используя отрицания, проще простого).

[podih]

mihaild
Connector
Надо почитать по теме.
Но в любом случае, спасибо за конструктив.
... Особенно поразило, что для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Непонятно, как это согласуется с лишь счётным множеством вычислимых чисел.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1402120 писал(а):

Ровно так. При практическом вычислении (т.е. при нахождении приближённого решения) у нас нет ничего, кроме "последовательностей Коши". Ничто другое нам просто не доступно. И если нет уверенности в том, что эти последовательности хоть к чему-то сходятся -- всё рушится.

Да, наверно мне стоило спросить про сечения Дедекинда.

podih в сообщении #1402121 писал(а):

Я имел ввиду его привычный смысл: описание существующих свойств феномена, а не отсутствующих.

По-моему, это никакой не «привычный смысл» конструктивности.

podih в сообщении #1402125 писал(а):

Хотя, чувствую, сейчас начнётся.

Конечно начнётся. Любому множеству $s$ сопоставляется единственный предикат принадлежности ему ${}\in s$, и в обратную сторону предикатам $A$ сопоставляется не более одного множества $\{x\mid A(x)\}$ такого, что $a\in\{x\mid A(x)\}\Leftrightarrow A(a)$. Это просто определение обозначения $\{\ldots\mid\ldots\}$.

И кстати аксиомы тут ни при чём, они нужны только для того чтобы показать, что некоторым таким записям соответствует множество (и каким именно), и — аксиома экстенсиональности — чтобы показать, что каждой записи соответствует не более одного множества.