Set-builder нотация для множества иррациональных чисел

[eanmos]

Мы можем определить множество $\mathbb{N}$ натуральных чисел как $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$, множество рациональных чисел как $\mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$.

А как можно определить множество иррациональных чисел?

P. S. Не знаю, как перевести на русский «set-builder notation», поэтому написал на английском.

[Sender]

$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}=\{x \mid (x\in \mathbb{R})\wedge (\forall m \in \mathbb{Z}\; \forall n \in \mathbb{N}\; x \neq \frac{m}{n})\}$.

[eanmos]

Sender в сообщении #1401958 писал(а):

$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}=\{x \mid (x\in \mathbb{R})\wedge (\forall m \in \mathbb{Z}\; \forall n \in \mathbb{N}\; x \neq \frac{m}{n})\}$.

А как тогда определить $\mathbb{R}$?

[Sender]

Если на то пошло, то и с предыдущими определениями не всё гладко. Например, если мы знаем только про целые числа, что собой, по-вашему, представляет конструкция $\frac{m}{n}$?

[eanmos]

Ну, если знаем только про целые, то можем определить натуральные как $\mathbb{N} = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x > 0\}$ .

Я понимаю, что все это выглядит как жонглирование определениями, но как тогда вообще определяются различные числовые множества?

[Sender]

eanmos в сообщении #1401964 писал(а):

как тогда вообще определяются различные числовые множества?

Откройте любой учебник по математическому анализу, например, Фихтенгольца или Зорича. В первых главах вы и найдёте вполне строгие определения множеств иррациональных и действительных чисел.

[arseniiv]

eanmos в сообщении #1401964 писал(а):

Я понимаю, что все это выглядит как жонглирование определениями, но как тогда вообще определяются различные числовые множества?

Кстати, определить множество — не значит предъявить некоторую запись $\{\ldots\}$. Такой записи может не соответствовать множества; например, $\{x\mid x\text{ --- ординал}\}$ (где выражение справа — это просто сокращение некоторого длинного, но точно описываемого предиката) множества не определяет, оно «слишком большое». Чтобы такая запись определяла множество, надо чтобы оно подходило под одну из аксиом существования. Плюс, многие из таких аксиом дают нам другие записи, в которые если подставить множества, они дадут множество: например, задание конечным перечислением элементов $\{A,\ldots\}$, или $A\cup B$ (и вообще объединение произвольного семейства множеств), или $F(A)$ — образ множества $A$ при отображении $F$, или ещё некоторые. Хотя вот аксиома выделения как раз даёт нам использовать любую запись вида $\{x\mid \ldots\wedge x\in A\}$, где $A$ уже известное множество.

Ещё надо заметить, что запись $\{1,2,3,4,\ldots\}$ ничего конкретного не определяет. Недалёким от истины будет считать, что $\mathbb N$ даётся нам аксиоматически (на деле постулируется некоторое его надмножество, не обязательно даже единственное, но из них можно однозначно вытащить $\mathbb N$).

Всё вышесказанное — об аксиомах ZFC, но обычно на этом не фиксируются, если не изучают конкретно теорию множеств саму по себе. Можете считать, что есть некоторая кучка конструкций, которая даёт множества, если в них использовать ранее определённые множества, и её часто достаточно взять довольно узкой. Декартово произведение множеств и упорядоченные пары (и далее, $n$-ки) тоже вполне разумно включить в такой набор и не особо думать об основаниях.

[Connector]

Sender в сообщении #1401963 писал(а):

Если на то пошло, то и с предыдущими определениями не всё гладко. Например, если мы знаем только про целые числа, что собой, по-вашему, представляет конструкция $\frac{m}{n}$?

Кстати, действовать следует так: взять произведение $\mathbb{Z}$ на $\mathbb{N}$, разбить на классы эквивалентности, на множестве классов определить операции (через операции на $\mathbb{Z}$); затем доказать, что кольцо $\mathbb{Z}$ изоморфно вкладывается в построенное поле. Тогда будет гладко.

[podih]

Видимо, ТС интересует конструктивное - builder - определение. Не разность множеств, без частицы "не". Вопрос старый и безответный.

[ewert]

eanmos в сообщении #1401959 писал(а):

А как тогда определить $\mathbb{R}$?

Множество вещественных чисел уникально. Все прочие стандартные числовые множества определяются алгебраически (в том смысле, что возникают из необходимости решать те или иные уравнения). Причина же появления чисел вещественных -- топологическая: грубо говоря, это всё, что можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами.

Иррациональные же числа (как и трансцедентные, скажем) сами по себе отдельного класса не образуют. Это именно "не".

[eanmos]

Sender в сообщении #1401968 писал(а):

eanmos в сообщении #1401964 писал(а):

как тогда вообще определяются различные числовые множества?

Откройте любой учебник по математическому анализу, например, Фихтенгольца или Зорича. В первых главах вы и найдёте вполне строгие определения множеств иррациональных и действительных чисел.

Я почитал, что Вы посоветовали. Фихтенгольц определяет иррациональные числа с помощью сечений рациональных чисел, Зорич — через набор аксиом. (Наверняка есть еще и другие способы определить иррациональные числа).

Правильно ли я понимаю, что в математике нет «общепринятого» («стандартного», «единого», не знаю, какое слово больше подойдет) определения для иррациональных чисел? Т. е. не важно, что именно из себя представляют иррациональные числа, важно, что они удовлетворяют некоторым правилам работы с ними (сложение, умножение, …). Т. е. что-то типа черного ящика?

Ну и, немного несвязанный вопрос (может, стоит создать новую тему? Не знаю, как на этом форуме принято)…

Существует ли в математике своеобразная «Теория всего» (как одноименная гипотетическая теория в физике), которая задает набор аксиом, из которых можно построить всю математику (в том числе и пресловутые иррациональны числа)?

[gris]

Пока даже с натуральными не разобрались.

[eanmos]

gris в сообщении #1401989 писал(а):

Пока даже с натуральными не разобрались.

В книге Зорича натуральные числа определяются через аксиоматику теории множеств:

В. А. Зорич в «Математический анализ. Часть I писал(а):

$6^{\circ}$ Аксиома бесконечности. Индуктивные множества существуют.

Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом $1^{\circ}$—$4^{\circ}$ создать эталонную модель множества $\mathbb{N}_0$ натуральных чисел (по фон Нейману)), определив $\mathbb{N}_0$ как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множество. Элементами $\mathbb{N}_0$ являются множества

$$\varnothing,\quad \varnothing^{+} = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\},\quad \{\varnothing\}^{+} = \{\varnothing\} \cup \{\{\varnothing\}\},\quad \ldots,$$

которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами $0$, $1$, $2$, … и называем натуральными числами.

Значит определились. Или я что-то неправильно понял?

[ewert]

eanmos в сообщении #1401987 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в математике нет «общепринятого» («стандартного», «единого», не знаю, какое слово больше подойдет) определения для иррациональных чисел?

Для иррациональных чисел -- нет вообще никакого определения.

Для вещественных -- есть несколько стандартных и общепринятых. И все они эквивалентны.

eanmos в сообщении #1401987 писал(а):

Т. е. не важно, что именно из себя представляют иррациональные числа, важно, что они удовлетворяют некоторым правилам работы с ними (сложение, умножение, …). Т. е. что-то типа черного ящика?

Это постановка телеги поперёк лошади. Есть конструктивные определения вещественных чисел -- и есть аксиоматические. Первичны первые, т.к. они возникают из практических потребностей. Аксиоматические же суть лишь формализации первых.

[arseniiv]

podih в сообщении #1401977 писал(а):

Видимо, ТС интересует конструктивное - builder - определение.

Любое множество можно записать в виде $\{x\mid\ldots\}$, это никак с конструктивностью не связано.

podih в сообщении #1401977 писал(а):

Не разность множеств, без частицы "не". Вопрос старый и безответный.

Смотря о чём говорить. Не путайте ТС.

eanmos в сообщении #1401987 писал(а):

Существует ли в математике своеобразная «Теория всего» (как одноименная гипотетическая теория в физике), которая задает набор аксиом, из которых можно построить всю математику (в том числе и пресловутые иррациональны числа)?

Существует, и не одна (например та же теория множеств ZFC с некоторыми добавлениями для экзотических случаев), но для понимания математики они не нужны.

ewert в сообщении #1401991 писал(а):

Первичны первые, т.к. они возникают из практических потребностей. Аксиоматические же суть лишь формализации первых.

Ну это тоже оспоримо. Аксиоматическое определение архимедова упорядоченного поля позволяет много чего сделать, хотя без конструирования не поймёшь, а есть ли оно такое. Но чтобы прям например последовательности Коши были связаны с практическими потребностями? Когда мы что-то вычисляем, мы вообще не можем выйти за рамки некоторого счётного подмножества $\mathbb R$, нам и не понадобилось бы для этого определять $\mathbb R$ целиком. Рациональные же в $\mathbb R$ вложить можно, не отходя от аксиом.