Уравнения вида n^x=-n и x^x=-n

[Supchik]

Первое я решить смог
$n^x=-n$, где $n \not =0$ и $n \not = 1$

$\log_n (n^x)=\log_n (-n)$
$x \log_n (n)=\log_n (n)+\log_n (-1)$
$x=\log_n (-1) +1=\frac {\ln(-1)}{\ln(n)} +1$
$\ln(-1)=i \pi$ т.к. $e^{i \pi}=-1$
Ответ: $x=\frac {i\pi}{\ln(n)} +1=\frac {i\pi+ \ln(n)}{\ln(n)}$, где $i^2=-1$
А вот со вторым проблема
Я смог решить уравнение $x^x=n$ или $x^{x+1}=x$ через функцию Ламберта,
$W(x e^x)=x=W(x)e^{W(x)}$, то есть обратная функция для $xe^x$, для комплексных X.
$x^x=n$
$\log_x (x)=\log_x (n)=\frac {\ln(n)}{\ln(x)}$
$x \ln(x)=\ln(n)$

т.к. $x=e^{\ln(x)}$, получается

$e^{\ln(x)} \ln(x)=\ln(n)$, вот так вот, видим $ \ln(x) e^{\ln(x)}=\ln(n)$ Бахнем функцию Ламберта, получилось $ \ln(x)=W(\ln(n))$
Осталовь избавиться от натурального логарифма
$x=e^{W(\ln(n))}$

Если $n=-1$, то $x=e^{W(i \pi)}$
Ответ: $e^{W(\ln(n))}$

Но вот с эти тяжко
$x^x=-x$
Я немного побрыкался, но ничего не получилось
$x^{x-1}=-1$
$(x-1)\ln(x)=-1$
$x \ln(x) - \ln(x)=i\pi$
Нужна помощь

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- заголовк не соответствует содержимому сообщения;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- и что, собственно, вы хотите?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[wrest]

Supchik в сообщении #1401797 писал(а):

Нужна помощь

Ну дык вещественных решений нет.
Комплексное - есть, численно находится.

[Supchik]

Спасибон