Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1384724 писал(а):

manul91, в ОТО задача Коши имеет проблему "курицы и яйца": чтобы задать начальную гиперповерхность нужно заранее знать метрику, а чтобы узнать метрику нужно задать начальную гиперповерхность чуть пораньше. И единственным правильным способом решения этой проблемы является получение сразу всего четырёхмерного решения.

Т.е. решать численными методами нельзя? (все решение не получится хотя бы потому что память конечна)
Что решение должно быть самосогласованным, это вроде нормально (нельзя задать от балды одновременно распределение материи, и вместе с ним любую 4D геометрию)
Не вижу проблем задать какое-нибудь распределение плотности типа $e^{-(z^2-10^2)^2-\rho^2}$ при $t=0$ (не зная полную метрику наперед - чтобы устранить неопределенность из-за выбора координат - зададим 4 из компонентов метрики в конкретном виде), и далее решать соответные дифуры численно

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1384751 писал(а):

Т.е. решать численными методами нельзя? (все решение не получится хотя бы потому что память конечна)

Я не знаю.

Я не знаю как это решать численно. Начальное условие не может быть произвольным, так как само должно удовлетворять уравнениям решение которых мы ищем.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1384768 писал(а):

Начальное условие не может быть произвольным, так как само должно удовлетворять уравнениям решение которых мы ищем.

Так оно и будет удовлетворять найденную численно метрику, поскольку она и есть решение.
Грубо говоря, например - мы задаем распределение плотности "куба" в функциональном (чисто координатном) смысле (типа противоположные грани по координатой х, имеют координаты x=-10, и x=+10).
Мы пока не знаем метрические свойства объекта (длину ребра, кривизну граней, взаимные углы ребер и т.д.).
Решаем численно -> находим метрику согласованную с таким функциональным распределением -> теперь можем вычислить и все метрические свойства, которые мы в начале не знали

[monky99]

Geen в сообщении #1384623 писал(а):

Не можем.

Спасибо. Буду в дальнейшем это учитывать.

warlock66613 в сообщении #1384616 писал(а):

Вот интересно, как вы умудрились найти тензор Риччи, куда входят производные метрики, имея только значение метрики в одной-единственной точке?

Вы абсолютно правы, зная метрику в одной точке тензор Риччи получить невозможно.
Я так и не делал. Но вот для изложения того, что сделал, выбрал абсолютно идиотскую формулировку. Вот и получился идиотизм. Увы.
Правильно было бы наверное сказать так:
Метрику преобразованиями координат можно привести к следующему виду:

$$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+BdR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+Dd \varphi ^2+2EdRd\theta +2FdRd\varphi+2Hd\theta d\varphi$$

таким образом, чтобы компоненты метрического тензора $E=F=H=0$ в выбранной точке.
И я совсем упустил из виду, что обнуление этих компонентов не гарантирует обнуление их первых производных, а уж тем более вторых.
Если честно расписать выражение для $R_t_t$, то оно будет не таким, какое я привёл, и выглядеть всё будет уже далеко не так просто. Ну и, разумеется, пока что я ничего ещё не доказал.
Вобщем, я осознаю, что в результате выгляжу полным идиотом.....

[monky99]

А вот к такой метрике для следующего тела в координатах $t,r,\theta ,\varphi$

два покоящихся соприкасающихся шара (упрощенный вариант эллипса) какие-нибудь замечания будут?
$g_t_t=-\frac{F}{F+2\m}$

$g_r_r=\frac{((k^2-2r^2)k^2\cos(y)^2+r^4)^2(F+2m)}{(k^2\cos(y)^2-r^2)^3(k^2-r^2)F}$

$g_\theta_\theta=((2Fk^6m\cos(y)^6+(k^2-6Fm-r^2)k^4r^2\cos(y)^4+(k^2-r^2)k^4r^2\cos(y)^2\sin(y)^2-2(k^2-3Fm-r^2)k^2r^4\cos(y)^2+(k^2-2Fm-r^2)r^6)(F+2m))/((k^2\cos(y)^2-r^2)^3F)$

$g_\varphi\varphi=(F + 2m)^2 \sin(y)^2$

$g_r_\theta =(((k^2 - 2r^2) k^2 \cos(y)^2 + r^4) (F + 2m) k^2 r \cos(y\) \sin(y))/((k^2 \cos(y)^2 - r^2)^3 F)$
где
$F=\sqrt{\frac{(k^2 - r^2) r^2}{k^2 \cos(y)^2 - r^2}}$, а $k$ это параметр, связанный с расстоянием между центрами шаров.

[Someone]

monky99 в сообщении #1384852 писал(а):

А вот к такой метрике … какие-нибудь замечания будут?

Если Вы решили уравнения Эйнштейна для этого случая, то публикуйте в соответствующем журнале своё решение (подробно, со всеми выкладками). Если же Вы опять какую-то замену координат в решении Шварцшильда (или в другом известном решении) придумали, то это такая же ерунда, как и то, что обсуждали до сих пор.

[manul91]

Про статической вакуумной метрики аксиальной симметрии из 1924 года (Curzon-Chazy metric), как и ее явный вид, есть здесь
https://qspace.library.queensu.ca/bitst ... sequence=1
(она сингулярна только в одной точке; в ней одна константа m, чей смысл не совсем понятен; что на самом деле описывает метрика - тоже не понятно)

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1400289 писал(а):

Curzon-Chazy metric

Любопытная штуковина. Повторю ее тут для наглядности:

$$\[ ds^2 = e^{ - {{2m} \mathord{\left/ {\vphantom {{2m} {\sqrt {\rho ^2 + z^2 } }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt {\rho ^2 + z^2 } }}} dt^2 - e^{{{2m} \mathord{\left/ {\vphantom {{2m} {\sqrt {\rho ^2 + z^2 } }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt {\rho ^2 + z^2 } }}} \left\{ {e^{ - \left[ {{{m\rho } \mathord{\left/ {\vphantom {{m\rho } {\left( {\rho ^2 + z^2 } \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {\rho ^2 + z^2 } \right)}}} \right]^2 } \left( {d\rho ^2 + dz^2 } \right) + \rho ^2 d\varphi ^2 } \right\} \] $$

Разумеется, первым делом я посчитал 3-силу. Она внезапно оказалась всегда смотрящей в центр $(0,0)$, хоть ее модуль

$$\[ \frac{m} {{\rho ^2 + z^2 }}e^{\frac{m} {2}\left[ {\frac{{m\rho ^2 }} {{\left( {\rho ^2 + z^2 } \right)^2 }} - \frac{2} {{\sqrt {\rho ^2 + z^2 } }}} \right]} \] $$

и не постоянен на линиях $\rho ^2 + z^2 = const$, так что о сферической симметрии речи нет. Впрочем, при $r: = \sqrt {\rho ^2 + z^2 } \to \infty $ выражение упрощается до изотропного

$$\frac{m}{{r^2 }}e^{ - \frac{m}{r}} $$

В центре же имеется существенно особая точка. Приближаясь к ней вдоль оси $z$ получим нуль, а вдоль $\rho$ - бесконечность.

Так что сие есть голая анизотропная сингулярность с короткодействующим притяжением.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

Любопытная штуковина.

Да

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

оказалась всегда смотрящей в центр $(0,0)$,

В чем смысл высказывания "смотрящей в центр" на кривом 3-многообразии...?

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

В центре же имеется существенно особая точка.

Хотя и "на бесконечости" эти координаты имеют смысл обычных цилиндрических, в окрестности сингулярности это вроде сильно не так... смысл координат в окрестности сингулярности непонятен.

Я вот посчитал длину "окружности" $\rho=\operatorname{const}=\rho_0$ в "плоскости" заданной как $z=0=\operatorname{const} , t=\operatorname{const}$.

Получилось $C=2\pi\rho_{0}\exp{\frac{m}{\rho_{0}}}$, т.е. отношение длины окружности к значению "радиальной" координатой $\rho_0$ при $\rho \to 0$ стремится к бесконечности - при том сама длина "окружности" растет (!) с уменьшением $\rho$ - что заведомо абнормальное поведение (если допустить что координаты $\rho, \varphi$ на $z=0$ поблизости $(0,0)$ - т.е. при $\rho <m$ - имели обычный смысл)....

Не знаю как это интерпретировать.
Выходит, $\rho=0$ на данной пространственноподобной 2-поверхности $z=0, t=\operatorname{const}$ - это вовсе не "точка" ($\rho$ - не обычная "радиальная координата" при малых значений, притом под $\rho<m$ размечена наоборот что ли) ибо инвариантная "длина окружности" при $\rho=0$ бесконечна.

[Geen]

manul91 в сообщении #1400431 писал(а):

Не знаю как это интерпретировать.

Так вроде же в статье, что Вы приводили, говорилось, что это невращающийся "обруч"...

-- 21.06.2019, 01:24 --

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

голая анизотропная сингулярность

А как это можно утверждать не посчитав изотропные геодезические?

[manul91]

Geen в сообщении #1400455 писал(а):

Так вроде же в статье, что Вы приводили, говорилось, что это невращающийся "обруч"...

Вроде так говорилось да... :)

Но я так и не понял "смысл" исходных координат в окрестности сингулярности, как и смысл m (правда, читал по диагонали)

А как вы это поняли?
Это кольцевая (одномерная) анизотропная сингулярность, на z=0?
В метрике отсутствует параметр радиуса кольца (точнее, выходит он должен быть жестко связан с константой m, т.е. с "массой")?

Подобные "кольцевые особенности" для немонотонной связи длины окружности с координатой "радиуса" $\rho$, имеют место и на поверхностях $z$ чутка отличающихся от нуля (тогда иногда возникают две "кольцевые особенности" - при монотонном уменьшении $\rho$ из бесконечности сначала периметр уменьшается, потом начинает расти, потом опять уменьшается до нуля - например )

Но это хотя бы легко представимо ($z=\operatorname{const} \neq 0$ - 2-поверхность типа горшка), на отличие от того что творится при z=0.

Самое интересное что в книжке где я нарыл ссылку на имя Curzon-а - на эту метрику ссылаются как на "однополюсной"; были также "двуполюсная" и вообще Curzon показал как конструировать "n-полюсные" точные решения такого вида (все аксиальной симметрии, статичные вакуумные; больше деталей увы нет)

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1400431 писал(а):

В чем смысл высказывания "смотрящей в центр" на кривом 3-многообразии...?

В соотношении

$$\frac{{f_r }}{{f_z }} = \frac{r}{z}$$

Еще замечу, что ставим метки и рисуем кривые мы все-таки в координатном пространстве, т.е. в обычном $\mathbb{R}^4$. Это потом им в кривом многообразии что-то там соответствует.

Geen в сообщении #1400455 писал(а):

как это можно утверждать не посчитав изотропные геодезические?

Хотите, замените на любое другое слово, обозначающее "особенность". Я не имел здесь в виду какое-либо формальное определение.

[manul91]

Эта вакуумная метрика заведомый уродец : )

В плоскости $z=0$ с уменьшениeм $\rho$ до нуля периметр подскакивает до бесконечность, а "чуть выше" или "ниже" ( $z=\pm \varepsilon $ )периметр подскакивает до большого (но конечного) значения (проходя "помимо" кольца) и потом резко сжимается до нуля при $\rho=0$.
Притом $\rho$ настоящая монотонная радиальная координата; к этому курьезному метрическому поведению ("расширению пространства на сингулярности кольца" - для нулевого $z$ вплоть до бесконечности) - просто надо привыкнуть:))

Что самое удивительное - притом коеффициент "замедления времени" $g_{00}$ (соответствующий классической "силе потенциала") на $z=\pm \varepsilon $ - при монотонном изменении $\rho$, меняется также монотонно (не варьирует, "проходя помимо сингулярности кольца") - несмотря на бешеные осцилляции периметра вверх-вниз. (из-за этих осцилляций, мы даже не можем перейти наподобию Шварцшильда к другой радиальной координате для которой периметр кольца менялся бы пропорционально - по меньшей мере, если хотим сохранить накрытие многообразия "внутри кольца" которое обеспечивает "оригинальная координата" $\rho$).

Так что "кольцом" такого можно назвать разве что с большой натяжкой (оно НЕ сводится к ньютоновском кольце в пределе малых $\rho$ и $m$ - классического предела тут не существует хотя бы из-за того, что отдельного параметра "радиуса кольца" не существует - $m$ играет роли и одного и другого).

Утундрий в сообщении #1400633 писал(а):

ставим метки и рисуем кривые мы все-таки в координатном пространстве, т.е. в обычном $\mathbb{R}^4$. Это потом им в кривом многообразии что-то там соответствует.

Т.е "не понимая смысл" координат мы размечаем ими декартово-цилиндрической системе координат в эвклидовом пространстве - и на базе этого делаем выводы?

К такому кстати сводится и "подход" автора статьи по моей ссылке:
1) Размечает некими координатами декартово-цилиндрическую систему координат в эвклидовом пространстве - и рисует поверх "поля" инвариантов кривизны
2) Берет ньютово поле кольца в декартово-цилиндрическую систему координат в эвклидовом пространстве - рисует поверх потенциал
3) Сравнивает визуально 1) и 2) и потому что "похожи" - говорит что это "ОТОшное решение для кольца"

По моему подход 3) неправомерeн хотя бы потому, что путем выбора разных координат можно "гнуть и искажать" картинку 1) как угодно - нельзя ожидать что при перемене координат, сохранятся даже ее топологические особености и особые точки (сравним топологию аналогичных 2-"картинок" поля Шварцшильда в координат шварцшильда и Крускала - они топологически разные, из-за прошлой бесконечности).
Следовательно из "визуальной похожести", нельзя делать каких-либо выводов.
Но даже и особые точки/топологии картинок у автора, соответствуют ньютонова распределения потенциала кольца только частично.... так что это решение ОТО, все-таки не соответствует классическому "кольцу" (в обычном смысле).

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

упрощается до изотропного

$$\frac{m}{{r^2 }}e^{ - \frac{m}{r}} $$

Утундрий в сообщении #1400392 писал(а):

... с короткодействующим притяжением.

Если зафиксировать $m$ и считать предел при $\frac{m}{r} \to 0$, разложение в ряд тейлора дает в первом порядке $\frac{m}{r^2}$ что соответствует Ньютоновой гравитации; т.е. на бесконечности поведение нормальное как для ньютоновой гравитации а не "короткодействующее"?

Существование таких многообразий - статичные, вакуумные, на бесконечности переходящие в плоских, с единственном параметром $m$ (отличных от шварцшильдова многообразия) - для меня оказалось несколько неожиданным.
Если вслед за Хокингом считать, что "изначальные" ЧД имеют шанс на существование (как чисто солитонные образования поля) - то такие уродцы ничем не хуже (даже лучше ибо симметрия у них поменьше) : ))

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1400857 писал(а):

"не понимая смысл" координат мы размечаем ими...

Это и есть смысл координат, другого смысла у координат нет.

-- Вс июн 23, 2019 00:19:04 --

manul91 в сообщении #1400857 писал(а):

на бесконечности поведение нормальное как для ньютоновой гравитации а не "короткодействующее"

Действительно. Мне почему-то померещилось сходство с Юкавой.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1400894 писал(а):

Это и есть смысл координат, другого смысла у координат нет.

Мне всегда казалось что "смысл" координат - это узнать как они связаны с инвариантами - длин, площадей, интервалов, геодезических и пр.
Ну и ладно.