Power Tower 2

[ИСН]

Выражение $x^{x^{x^{_..^.}}$ сходится при $x$ от $e^{-e}$ до $e^{1/e}$. Меньше - колышется, больше - убегает. Ну, это банальность, все знают.

А вот когда (в какой области) сходится $x^{y^{x^{y^{_..^.}}}$?

[worm2]

Одно замечание: поскольку нужно брать только башни, состоящие из чётного числа этажей ($x^{y^x}$ вычисляется, но игнорируется при определении сходимости), то пересечение искомой области с прямой $y=x$ не даст отрезок $[e^{-e}, e^{1/e}]$ (вероятно, тут получится $(0, e^{1/e}]$).

[ИСН]

Это смотря как понимать сходимость. Если так, то да, так.

[worm2]

Просто если требовать сходимости последовательности:

$$\{x, y^x, x^{y^x}, y^{x^{y^x}}, x^{y^{x^{y^x}}}, \dots\},$$

то с неизбежностью получается $x=y$. Потому что если $z$ — предел, то выходит $x^z=y^z$.

-- Вс июн 16, 2019 10:54:47 --

Численное моделирование показывает, что граница (по крайней мере, внешняя) области определяется парами $(x, y)$, для которых график функции $f(t)=x^{y^t}$ касается графика функции $f(t)=t$, т.е. система уравнений:

$$\left\{\begin{array}{ccc} x^{y^t}=t\\ \frac{d}{dt}\left(x^{y^t}\right)=1 \end{array}\right.$$

должна иметь решение (в переменной $t$). В этой системе нужно избавиться от $t$, что мне пока не покорилось.

[SiberianSemion]

worm2, надо ли искать границу? При $x=y$ ваша последовательность

worm2 в сообщении #1399463 писал(а):

$$\{x, y^x, x^{y^x}, y^{x^{y^x}}, x^{y^{x^{y^x}}}, \dots\},$$

сводится к исходной последовательности.

ИСН в сообщении #1399372 писал(а):

Выражение $x^{x^{x^{_..^.}}$

Я понял исходную задачу так, что речь идет о последовательности:

$$x, x^y, x^{y^x},x^{y^{x^y}},\ldots$$

Четные элементы этой последовательности сходятся тогда и только тогда, когда сходится последовательность $u^{u^{u^{_..^.}},$ где $u=x^y.$ Для нечетных элементов условие сходимости тоже легко найти, приняв $v=y^x$. Совместная область сходимости четных/нечетных лежит между двумя парами следующих графиков (ссылка на вольфрам) (между красным, синим, зеленым и желтым на верхнем рисунке).

Остаётся вопрос, сходятся ли они к одному и тому же числу. Если обозначить

$$f(x,y)=(x^y)^{(x^y)^{(x^y)^{_..^.}}$$

то получается условие сходимости исходной последовательности вида $x^{f(y,x)}=f(x,y).$ Последнее уравнение я не осилил. Есть подозрение, что равенство выполняется только при $x=y$, ну и в вырожденных случаях $x=1$ и $y=0, x\ne0.$

[worm2]

SiberianSemion в сообщении #1399466 писал(а):

Четные элементы этой последовательности сходятся тогда и только тогда, когда сходится последовательность $u^{u^{u^{_..^.}},$ где $u=x^y.$

Не похоже на то. Ведь

$$x^{y^{x^y}}\ne \left(x^y\right)^{\left(x^y\right)}.$$

Скорее, тут результаты численного моделирования подсказывают, что искомая область заключена между координатными осями и графиком функции задаваемой неявно:

$$W\left(\frac{1}{\ln x}\right)W\left(\frac{1}{\ln y}\right)=1,$$

где $W$ — функция Ламберта
(Позднее добавление: вообще-то это выражение легко выписывается явно, как $y=f(x)$, или как $x=f(y)$, но так красивее).

[ИСН]

SiberianSemion в сообщении #1399466 писал(а):

Я понял исходную задачу так, что речь идет о последовательности:

$$x, x^y, x^{y^x},x^{y^{x^y}},\ldots$$

Вот да, это ближе к делу.

Так как же выглядит область, на что она похожа? (Собственно, задача появилась ради этого. Я того, что увидел, не ожидал.)

Численные эксперименты тут затруднительны, потому что когда смотришь на фичи размером порядка $e^e$, легко проглядеть детальки размером $e^{-e}$. То есть заниматься ими всё равно нужно, но - - -

[worm2]

Долго до меня доходило, что снизу всегда $x$
Вот такая картинка получилась у меня:



Область рисунка — $[0,2]\times [0,2]$ (извините, что на самом графике не обозначил)
Синие точки сходятся, белые расходятся.
Красными точками обозначил границы для одномерного случая $(e^{-e}, e^{-e})$, $(e^{1/e}, e^{1/e})$.

-- Вт июн 18, 2019 13:15:26 --

Хотя нет, такого не может быть. Ведь отрезок между красными точками должен быть полностью синим.
Вот они, затруднения численных методов, которые до меня тоже вот только так доходят.

Вот улучшенная версия нижней части (область рисунка — $[0,\,0.1]\times [0,\,0.1]$)

Тут ещё есть неправильная белая часть справа и сверху от красной точки (там всё должно быть синее). Но слева и снизу, вероятно, что-то похожее на правду.

Вот так ещё правильнее:



Красную точку не нарисовал, она там где надо (куда упирается белый острый лепесток).

[ИСН]

Отож!

И это не всё.

[worm2]

Уравнения границ "лепестка":

$$W\left(\frac{1}{\ln x}\right)W_{-1}\left(\frac{1}{\ln y}\right)=1;$$

$$W_{-1}\left(\frac{1}{\ln x}\right)W\left(\frac{1}{\ln y}\right)=1,$$

где $W_{-1}$ — вторая ветка W-функции Ламберта. Правда, Wolfram Alpha при попытке нарисовать это чудо "ломается" вблизи начала координат.
Возможно, совсем близко к нулю творится ещё какая-то дичь, про которую я не знаю.

-- Вт июн 18, 2019 20:44:44 --

Хотя нет. Мы же тут можем выразить явно $y$ через $x$.
Выражение получается многоэтажное, но для Wolfram'а вполне питательное. Он рисует графики уже без фокусов, до самого нуля.

-- Вт июн 18, 2019 21:02:28 --

Честно говоря, меня уже это достаточно впечатляет. Неужели там ещё что-то есть?

-- Вт июн 18, 2019 21:27:39 --

А!!!
Если одно из $x$ и $y$ большое (а второе — маленькое), то отображение в окрестности точки пересечения графиков $f(t)=x^{y^t}$ и $g(t)=t$ перестанет быть сжимающим!

[worm2]

Вот что показывает численный расчёт (впрочем, доверия ему не очень много):



Здесь $x$ меняется примерно от 14.5 до 17.5, красная линия = $e^e \approx 15.15$ (не знаю, какова в конечном итоге роль этой константы). $y$ меняется от 0 до 1.
Ересь какая-то...

[ИСН]

Вот!
Расчёт хорош примерно настолько же, насколько первый в предыдущем сообщении: показывает, что там что-то есть.
Константа такая, да, тут играет роль.
Я Ламберта недолюбливаю, поэтому рисовал параметрическую форму. Её можно выписать в элементарных функциях.

[worm2]

Ага, вроде, всё получилось.
Самая нижняя, гм, "парабола" похожа на то, что нужно. Она ограничена двумя функциями, определяемыми неявными соотношениями (как и раньше, всё выписывается явно, но неявно красивее и компактнее):

$$W_i\left(-\frac{1}{\ln x}\right)W_0\left(-\frac{1}{\ln y}\right)=-1,$$

где $i$ принимает два значения 0 и -1 (откуда и получаются две функции), $W_0=W$ — главная ветвь функции Ламберта, $W_{-1}$ — вторая. Обе ветви сходятся в точке $(e^e, e^{-1/e})$. Посмотреть на это чудо можно здесь.
Дополнение: тут я перемудрил, конечно. Нужно было выражать $x$ через $y$, и получилось бы однозначное аналитическое выражение.
Внутри этой (выпуклой) области последовательность расходится, снаружи (здесь всё имеется в виду только внутри области $x>1$, $0<y<1$) сходится.
Понятно, что всё это симметрично отображается и в область $0<x<1$, $y>1$.

Правда, у меня есть один пробел.
Понятно, что всё упирается в решение уравнения $f(t)=t$, где $f(t)=x^{y^t}$. Для рассматриваемой области ($x>1$, $0<y<1$) функция $f$ убывает с ростом $t$, поэтому уравнение $f(t)=t$ имеет всего один корень, обозначим его $t_0$. Для сходимости последовательности необходимо: $f'(t_0) \geqslant -1$ (именно эту область мы сейчас и нашли), но вот достаточно ли? Я пытался доказать достаточность, исследуя $f(f(t))$, а именно: хотел доказать, что условие $-1 \leqslant f'(t_0) < f'(t) < 0$ для всех $t>t_0$ всегда (при всех $x$, $y$ в рассматриваемой области) влечёт за собой $f(f(t))<t$ для всех $t > t_0$. Отсюда до достаточности рукой подать, но попытки идти этим путём приводят к громоздким выражениям, которые я ниасилил. Так что, возможно, найдены ещё не все области расходимости.