Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #1399230 писал(а):

Я предпринял расчёты для опровержения утверждения, что скорость падающей частицы на горизонте всегда равна скорости света, и более никакой цели у меня не было.

Можно было проще

$$ g_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2, $$

$$ L \equiv - m c \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt} \frac{dx^{\nu}}{dt}} = - m c^2 \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \left( \frac{dr}{dt} + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2}, $$

$$ E \equiv \frac{dr}{dt} \frac{\partial L}{\partial \frac{dr}{dt}} - L = m c^2 \frac{1 - \frac{1}{c} \sqrt{\frac{r_g}{r}} \left( \frac{dr}{dt} + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right) }{\sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \left( \frac{dr}{dt} + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2}}. $$

$E$ - интеграл движения. Разным $E$ соответствуют разные $v_g \equiv \frac{dr}{dt}$ на горизонте $r=r_g$:

$$ E = - \frac{m c \, v_g}{\sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \left( v_g + c \right)^2}}. $$

Например, случаю $v_g = - c$ соответствует $E= m c^2$, то есть радиально падающие из бесконечности с нулевой начальной скоростью частицы пересекают горизонт со скоростью света (вторая космическая).

-- 17.06.2019, 12:18 --

Утундрий в сообщении #1399326 писал(а):

Munin в сообщении #1399324 писал(а):

А почему?

По ощущениям - потому что негоже соваться с линейными методами в нелинейные явления. Хотя формального доказательства данного тезиса у меня нет.

Обычно какие-нибудь тождества нарушаются. Что-то должно быть равно нулю точно, а оно равно нулю "приближённо". Но ноль это такая исключительно особая штука, что ему нельзя быть равным "примерно".

[Guvertod]

Значение координатной скорости не имеет никакого смысла, ввод "физической" скорости, как скорости в ЛИСО, мнгновенно покоящейся на $r=r_g$ невозможен, поскольку таковой не существует. Ведь это траектория фотона и воспринимать надо так, что это горизонт налетает на падающую частицу со скоростью света, но никак не наоборот.
А материальная частица ни в каком ПВ не может разогнаться до скорости света, ведь раз касательный вектор к траектории не был равен нулю, то при параллельном переносе с согласованной связностью никогда и не будет.
Мне кажется, что всем участникам обсуждения это должно быть очевидно...

[Munin]

Guvertod в сообщении #1399698 писал(а):

Значение координатной скорости не имеет никакого смысла

Ну, можно хотя бы сравнить её с местным же световым конусом в координатах. И убедиться, что внутри (или не внутри, или на конусе).

[SergeyGubanov]

Guvertod в сообщении #1399698 писал(а):

Значение координатной скорости не имеет никакого смысла, ввод "физической" скорости, как скорости в ЛИСО, мнгновенно покоящейся на $r=r_g$ невозможен, поскольку таковой не существует.

А зачем "покоящейся"? Пусть себе падает.

Вот, например, свободно падающая из бесконечности с нулевой начальной скоростью система отсчёта:

$$ e^{(0)} = c \, dt, \qquad e^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt, \qquad e^{(2)} = r \, d\theta, \qquad e^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi. $$

Компоненты "физической" трёхмерной скорости регистрируемой в системе отсчёта задаваемой тетрадой $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}$ таковы:

$$ \frac{v^{(1)}}{c} = \frac{e^{(1)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }, \qquad \frac{v^{(2)}}{c} = \frac{e^{(2)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }, \qquad \frac{v^{(3)}}{c} = \frac{e^{(3)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }. $$

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1399672 писал(а):

Можно было проще

Вообще-то, можно было бы вникнуть в стартовое сообщение и обнаружить, что там речь идёт о координатной скорости $\frac{du}{dv}$. Я, конечно, понимаю,что сообщение очень длинное и с занудными вычислениями, но хотя бы в конец сообщения можно было бы глянуть.

Что касается координатной скорости $\frac{dr}{dt}$, то, посмотрев на уравнение (12) в том же сообщении, легко увидеть, что $\lim\limits_{r\to r_g}\frac{dr}{dt}=0$.