2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.
Сообщение17.06.2019, 12:05 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Someone в сообщении #1399230 писал(а):
Я предпринял расчёты для опровержения утверждения, что скорость падающей частицы на горизонте всегда равна скорости света, и более никакой цели у меня не было.
Можно было проще
$$
g_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2
- r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2,
$$$$
L \equiv - m c \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt} \frac{dx^{\nu}}{dt}}  = 
- m c^2 
\sqrt{ 1 -  \frac{1}{c^2} \left( \frac{dr}{dt} + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2},
$$ $$
E \equiv \frac{dr}{dt} \frac{\partial L}{\partial \frac{dr}{dt}} - L = 
m c^2 \frac{1 - \frac{1}{c} \sqrt{\frac{r_g}{r}} \left( \frac{dr}{dt}  + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)  }{\sqrt{ 1 -  \frac{1}{c^2} \left( \frac{dr}{dt} + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2}}.
$$ $E$ - интеграл движения. Разным $E$ соответствуют разные $v_g \equiv \frac{dr}{dt}$ на горизонте $r=r_g$:$$
E = - \frac{m c \, v_g}{\sqrt{ 1 -  \frac{1}{c^2} \left( v_g + c \right)^2}}.
$$ Например, случаю $v_g = - c$ соответствует $E= m c^2$, то есть радиально падающие из бесконечности с нулевой начальной скоростью частицы пересекают горизонт со скоростью света (вторая космическая).

-- 17.06.2019, 12:18 --

Утундрий в сообщении #1399326 писал(а):
Munin в сообщении #1399324 писал(а):
А почему?

По ощущениям - потому что негоже соваться с линейными методами в нелинейные явления. Хотя формального доказательства данного тезиса у меня нет.
Обычно какие-нибудь тождества нарушаются. Что-то должно быть равно нулю точно, а оно равно нулю "приближённо". Но ноль это такая исключительно особая штука, что ему нельзя быть равным "примерно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.
Сообщение17.06.2019, 14:39 
Аватара пользователя


20/07/18
365
Значение координатной скорости не имеет никакого смысла, ввод "физической" скорости, как скорости в ЛИСО, мнгновенно покоящейся на $r=r_g$ невозможен, поскольку таковой не существует. Ведь это траектория фотона и воспринимать надо так, что это горизонт налетает на падающую частицу со скоростью света, но никак не наоборот.
А материальная частица ни в каком ПВ не может разогнаться до скорости света, ведь раз касательный вектор к траектории не был равен нулю, то при параллельном переносе с согласованной связностью никогда и не будет.
Мне кажется, что всем участникам обсуждения это должно быть очевидно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.
Сообщение17.06.2019, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Guvertod в сообщении #1399698 писал(а):
Значение координатной скорости не имеет никакого смысла

Ну, можно хотя бы сравнить её с местным же световым конусом в координатах. И убедиться, что внутри (или не внутри, или на конусе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.
Сообщение17.06.2019, 15:51 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Guvertod в сообщении #1399698 писал(а):
Значение координатной скорости не имеет никакого смысла, ввод "физической" скорости, как скорости в ЛИСО, мнгновенно покоящейся на $r=r_g$ невозможен, поскольку таковой не существует.
А зачем "покоящейся"? Пусть себе падает.

Вот, например, свободно падающая из бесконечности с нулевой начальной скоростью система отсчёта:
$$
e^{(0)} = c \, dt, \qquad
e^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt, \qquad
e^{(2)} = r \, d\theta, \qquad
e^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi.
$$

Компоненты "физической" трёхмерной скорости регистрируемой в системе отсчёта задаваемой тетрадой $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}$ таковы:
$$
\frac{v^{(1)}}{c} = \frac{e^{(1)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }, \qquad
\frac{v^{(2)}}{c} = \frac{e^{(2)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }, \qquad
\frac{v^{(3)}}{c} = \frac{e^{(3)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{dt} }.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.
Сообщение17.06.2019, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17262
Москва
SergeyGubanov в сообщении #1399672 писал(а):
Можно было проще
Вообще-то, можно было бы вникнуть в стартовое сообщение и обнаружить, что там речь идёт о координатной скорости $\frac{du}{dv}$. Я, конечно, понимаю,что сообщение очень длинное и с занудными вычислениями, но хотя бы в конец сообщения можно было бы глянуть.

Что касается координатной скорости $\frac{dr}{dt}$, то, посмотрев на уравнение (12) в том же сообщении, легко увидеть, что $\lim\limits_{r\to r_g}\frac{dr}{dt}=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group