Падение пробного тела в координатах Крускала—Секереша.

[Someone]

Данный текст был задуман как ответ на претензии monky99. Однако мне эти вычисления быстро надоели. Несколько раз я это бросал, потом возобновлял… В конце-концов, решил всё-таки остановиться на достигнутом и выложить написанное для всеобщего обозрения, согласовав это намерение с Pphantom. В принципе, найти правильное значение предела координатной скорости в момент достижения горизонта или хотя бы убедиться, что этот предел не равен $\pm 1$, можно было бы и проще, но найти точное решение и прямо на нём показать, что ни о какой $\pm 1$ не может быть и речи, кажется более убедительным. Уж что получилось, то и получилось.

I. В координатах Крускала—Секереша метрика шварцшильдовской чёрной дыры имеет вид

\begin{gather}ds^2=\frac{4r_g^3}re^{-\frac r{r_g}}(dv^2-du^2)-r^2(\sin^2\theta\,d\varphi^2+d\theta^2),\\ \Bigl(\frac r{r_g}-1\Bigr)e^{\frac r{r_g}}=u^2-v^2.\end{gather}

От формул (31.14а) и (31.14б) в третьем томе МТУ эти выражения отличаются противоположным знаком метрического тензора и тем, что вместо массы $M$ в качестве параметра используется гравитационный радиус $r_g=2M$ (в МТУ используется "геометрическая" система единиц, в которой гравитационная постоянная и скорость света равны единице).
Уравнения свободного движения пробной частицы имеют вид $\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0,$ где, в нашем случае, $x^0=v$, $x^1=u$, $x^2=\varphi$, $x^3=\theta$. Мы будем рассматривать только радиальное движение, поэтому угловые координаты $\varphi$ и $\theta$ будут иметь постоянные значения; соответственно, мы должны считать, что $\frac{d\varphi}{ds}=0$ и $\frac{d\theta}{ds}=0$. При этих условиях вычисления приводят к следующим уравнениям:

$$\begin{cases}\frac{d^2v}{ds^2}+\frac{r_g}{r^2}e^{-\frac r{r_g}}(r+r_g)\Bigl(v\bigl(\frac{dv}{ds}\bigr)^2-2u\frac{dv}{ds}\frac{du}{ds}+v\bigl(\frac{du}{ds}\bigr)^2\Bigr)=0,\\ \frac{d^2u}{ds^2}-\frac{r_g}{r^2}e^{-\frac r{r_g}}(r+r_g)\Bigl(u\Bigl(\frac{dv}{ds}\bigr)^2-2v\frac{dv}{ds}\frac{du}{ds}+u\bigl(\frac{du}{ds}\Bigr)^2\Bigr)=0.\end{cases}\eqno(3)$$

К этим уравнениям добавляется ещё одно уравнение, которое получается из выражения (1) "делением" на $ds^2$; учитывая, что $d\varphi=d\theta=0$, и поделив ещё на коэффициент при $dv^2-du^2$, получим

$$\Bigl(\frac{dv}{ds}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{du}{ds}\Bigr)^2=\frac r{4r_g^3}e^{\frac r{r_g}}.\eqno(4)$$

Это уравнение используется для нормировки параметра $s$; величина $\tau=\frac sc$ интерпретируется как собственное время движущейся частицы.
Уравнения (3), (4) выглядят сложными, хотя проинтегрировать их в общем виде возможно. Пока рассмотрим вопрос о численном интегрировании. Эти уравнения содержат переменную $r$, которая связана с $u$ и $v$ уравнением (2). Поскольку явного выражения для $r$ нет, что неудобно для применения численных методов, можно заменить уравнение (2) дифференциальным уравнением. Обозначая $q=u^2-v^2$, получим уравнение $\bigl(\frac r{r_g}-1\bigr)e^{\frac r{r_g}}=q$, и по формуле производной обратной функции $\frac{dr}{dq}=\frac{r_g^2}re^{-\frac r{r_g}}$, откуда по формуле производной сложной функции

$$\frac{dr}{ds}=\frac{2r_g^2}re^{-\frac r{r_g}}\Bigl(u\frac{du}{ds}-v\frac{dv}{ds}\Bigr).\eqno(5)$$

Исходные данные выберем такими же, как в сообщении monky99: $r_g=2$, в начальный момент частица покоится в точке $r|_{s=0}=r_0=4$, $\left.\frac{dr}{ds}\right|_{s=0}=r'_0=0$ в момент временно́й симметрии координат Крускала—Секереша $v|_{s=0}=v_0=0$; далее из соотношения (2) находим $u|_{s=0}=u_0=\sqrt{\bigl(\frac{r_0}{r_g}-1\bigr)e^{\frac{r_0}{r_g}}+v_0^2}=e$, из соотношения (5) — $\left.\frac{du}{ds}\right|_{s=0}=u'_0=0$, из соотношения (4) — $\left.\frac{dv}{ds}\right|_{s=0}=v'_0=\sqrt{\frac{r_0}{4r_g^3}e^{\frac{r_0}{r_g}}+u'_0^2}=\frac{e\sqrt{2}}4$.
Далее запускаем Wolfram Mathematica, пишем команду NDSolve (E — основание натуральных логарифмов, \[Pi] — отношение длины окружности к диаметру; откуда взялось выражение $2\pi\sqrt{2}$, выяснится позже),

rg=2;r0=4;v0=0;u0=Sqrt[(r0/rg-1)E^(r0/rg)+v0^2];u10=0;v10=Sqrt[r0/(4rg^3)E^(r0/rg)+u10^2];
 SS=NDSolve[{v'[s]==v1[s],u'[s]==u1[s],r'[s]==(2rg^2)/r[s]E^(-(r[s]/rg))(u[s]u1[s]-v[s]v1[s]),
   v1'[s]==-(rg/r[s]^2)E^(-(r[s]/rg))(r[s]+rg)(v[s]v1[s]^2-2u[s]v1[s]u1[s]+v[s]u1[s]^2),
   u1'[s]==(rg/r[s]^2)E^(-(r[s]/rg))(r[s]+rg)(u[s]v1[s]^2-2v[s]v1[s]u1[s]+u[s]u1[s]^2),
   r[0]==r0,v[0]==v0,u[0]==u0,u1[0]==u10,v1[0]==v10},{v,v1,u,u1,r},{s,0,2\[Pi] Sqrt[2]}]

рассчитываем решение и строим на графике мировую линию. Здесь чёрная гипербола сверху — сингулярность, красная прямая — горизонт, зелёная — мировая линия.

Видим, что начальные данные выбраны крайне неудачно: в самой интересной части, где мировая линия пересекает горизонт и утыкается в сингулярность, все три линии сливаются. Поэтому на втором графике изображена небольшая часть вблизи точки пересечения мировой линии и горизонта.
Можно приближённо подобрать момент пересечения горизонта: $s\approx 7{,}27131$ (с шестью значащими цифрами); при этом в момент пересечения горизонта $u\approx v\approx 9{,}24629$, $\frac{du}{ds}\approx 1{,}60854$, $\frac{dv}{ds}\approx 1{,}66051$, $\frac{du}{dv}\approx 0{,}968703<1$.
На следующих двух графиках показаны зависимости шварцшильдовской радиальной коорданаты $r$ и скорости $\frac{du}{dv}$ от собственного времени падающей частицы.

На левом графике горизонтальная линия изображает горизонт; на правом графике горизонтальная линия изображает скорость света, а вертикальная отмечает момент пересечения горизонта.

Можно подобрать начальные данные, дающие более наглядную картину пересечения горизонта и падения в сингулярность. Возьмём те же самые $r_g=2$, $r_0=4$, $r'_0=0$. Далее выбираем $v_0=-10$, из соотношения (2) находим $u_0=\sqrt{\bigl(\frac{r_0}{r_g}-1\bigr)e^{\frac{r_0}{r_g}}+v_0^2}$. Значения $u'_0$ и $v'_0$ находим, решая систему уравнений (4) и (5) (подставлено $r'_0=0$): $v'_0=u_0\sqrt{\frac{r_0}{4r_g^3(u_0^2-v_0^2)}e^{\frac{r_0}{r_g}}}$, $u'_0=\frac{v_0}{u_0}v'_0$. На следующем рисунке изображена не вся мировая линия, а только её конечный участок.

Из этих графиков видна ошибочность утверждений monky99: в координатах Крускала—Секереша свободно падающая пробная частица "благополучно" пересекает горизонт, имея при этом скорость, меньшую скорости света, и падает в сингулярность. То, что у monky99 предел скорости при $r\to r_g^+$ оказался равным то ли $1$, то ли $-1$, является следствием банальной ошибки: нельзя выборочно заменять части выражения их предельными значениями до перехода к пределу.

II. Интегрирование системы уравнений (2), (3), (4) выглядит сложной задачей. Один из способов получить решение состоит в том, чтобы решить задачу для системы координат Шварцшильда, а затем преобразовать его в координаты Крускала—Секереша.
В координатах Шварцшильда метрика имеет вид

$$ds^2=\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}r}-r^2(\sin^2\theta\,d\varphi^2+d\theta^2),\eqno(6)$$

где $c$ — скорость света.
Уравнения радиального движения свободного пробного тела имеют вид

$$\begin{cases}\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{r_g}{r(r-r_g)}\frac{dt}{ds}\frac{dr}{ds}=0,\\ \frac{d^2r}{ds^2}+\frac{c^2r_g(r-r_g)}{2r^3}\bigl(\frac{dt}{ds}\bigr)^2-\frac{r_g}{2r(r-r_g)}\bigl(\frac{dr}{ds}\bigr)^2=0,\end{cases}\eqno(7)$$

$$\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)c^2\Bigl(\frac{dt}{ds}\Bigr)^2-\frac 1{1-\frac{r_g}r}\Bigl(\frac{dr}{ds}\Bigr)^2=1.\eqno(8)$$

1) Интегрируем первое уравнение системы (7).

$$\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{r_g}{r(r-r_g)}\frac{dt}{ds}\frac{dr}{ds}=0\Rightarrow\Bigl(\frac{dt}{ds}\Bigr)^{-1}\frac d{ds}\Bigl(\frac{dt}{ds}\Bigr)+\Bigl(\frac 1{r-r_g}-\frac 1r\Bigr)\frac{dr}{ds}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac d{ds}\ln\Bigl\lvert\frac{dt}{ds}\Bigr\rvert+\frac d{ds}\ln\Bigl\lvert\frac{r-r_g}r\Bigr\rvert=0\Rightarrow\ln\Bigl\lvert\frac{dt}{ds}\Bigr\rvert+\ln\Bigl\lvert\frac{r-r_g}r\Bigr\rvert=\ln\lvert C_1\rvert$$

$$\frac{dt}{ds}=\frac{C_1r}{r-r_g}\eqno(9)$$

Заметим, что вне чёрной дыры направление в будущее соответствует возрастанию $t$, поэтому должно быть $\frac{dt}{ds}>0$ и, следовательно, $C_1>0$.

2) Интегрируем второе уравнение системы (7). Подставляя в него выражение (9), получим

$$\frac{d^2r}{ds^2}+\frac{c^2r_g(r-r_g)}{2r^3}\frac{C_1^2r^2}{(r-r_g)^2}-\frac{r_g}{2r(r-r_g)}\Bigl(\frac{dr}{ds}\Bigr)^2=0\Rightarrow\frac{d^2r}{ds^2}+\frac{r_g}{2r(r-r_g)}\left(C_1^2c^2-\Bigl(\frac{dr}{ds}\Bigr)^2\right)=0$$

Принимая в этом уравнении $r$ за новую независимую переменную, а $p=\frac{dr}{ds}$ за новую неизвестную функцию, по формуле производной сложной функции получим $\frac{d^2r}{ds^2}=\frac d{ds}\frac{dr}{ds}=\frac{dp}{dr}\frac{dr}{ds}=p\frac{dp}{dr}$. Подставляя в уравнение, получим

$$p\frac{dp}{dr}=\frac{r_g}{2r(r-r_g)}(p^2-C_1^2c^2)\Rightarrow\frac{2p\,dp}{p^2-C_1^2c^2}=\Bigl(\frac 1{r-r_g}-\frac 1r\Bigl)dr\Rightarrow\ln\lvert p^2-C_1^2c^2\rvert=\ln\Bigl\lvert\frac{r-r_g}r\Bigr\rvert+\ln\lvert C_2\rvert$$

$$\Bigl(\frac{dr}{ds}\Bigr)^2=C_1^2c^2+C_2\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)\eqno(10)$$

3) Подставим выражения (9) и (10) в уравнение (8).

$$\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)c^2\frac{C_1^2}{\bigl(1-\frac{r_g}r\bigr)^2}-\frac 1{1-\frac{r_g}r}\left(C_1^2c^2+C_2\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)\right)=1\Rightarrow C_2=-1$$

Подставляя это значение в (10) и выражая $\frac{dr}{ds}$, получим

$$\frac{dr}{ds}=\pm\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}.\eqno(11)$$

В этом уравнении нужно брать знак "$+$", если при движении тела переменная $r$ увеличивается, и знак "$-$" — если уменьшается.

4) Из уравнений (9) и (11) по формуле производной функции, заданной параметрически, получаем

$$\frac{dr}{dt}=\pm\frac 1{C_1}\Bigl(1-\frac{r_g}r\Bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}.\eqno(12)$$

Сравнивая это уравнение с уравнением (2.3.5) из книги И. Д. Новикова и В. П. Фролова "Физика чёрных дыр", находим, что

$$C_1=\frac E{mc^3},\eqno(13)$$

где $E$ — полная энергия частицы, включая её массу покоя $m$.

5) Интегрируем уравнение (11). Поскольку нас интересует падение частицы в чёрную дыру, перед корнем возьмём знак "$-$":

$$\frac{dr}{ds}=-\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}\Rightarrow ds=-\frac{dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}},$$

$$s-s_0=\int\limits_{r_0}^r\frac{-dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}\eqno(14)$$

(в последнем выражении допущена очень часто встречающаяся вольность: верхний предел интеграла и переменная интегрирования обозначены одной буквой, хотя их смысл совершенно различен).
Для вычисления интеграла сделаем замену переменной:

$$R=\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}\Rightarrow\frac{r_g}r=R^2+1-C_1^2c^2\Rightarrow r=\frac{r_g}{R^2+1-C_1^2c^2}\Rightarrow dr=-\frac{2r_gR\,dR}{(R^2+1-C_1^2c^2)^2}.$$

Подставляем в интеграл:

$$\int\frac{-dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=\int\frac{2r_gdR}{(R^2+1-C_1^2c^2)^2}.$$

Вид первообразной здесь существенно зависит от значения $C_1c=\frac E{mc^2}$.

5а) Пусть $0<C_1c<1$. Методом Остроградского находим

$$\int\frac{2r_gdR}{(R^2+1-C_1^2c^2)^2}=\frac{r_g\,R}{(1-C_1^2c^2)(R^2+1-C_1^2c^2)}+\frac{r_g}{1-C_1^2c^2}\int\frac{dR}{R^2+\bigl(\sqrt{1-C_1^2c^2}\bigr)^2}=$$

$$=\frac{r_gR}{(1-C_1^2c^2)(R^2+1-C_1^2c^2)}+\frac{r_g}{\bigl(\sqrt{1-C_1^2c^2}\bigr)^3}\arctg\frac R{\sqrt{1-C_1^2c^2}}+C_3.$$

Возвращаясь к переменной $r$, получаем

$$\int\frac{-dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=\frac{r\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}{1-C_1^2c^2}+\frac{r_g}{\sqrt{(1-C_1^2c^2)^3}}\arctg\sqrt{\frac{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}{1-C_1^2c^2}}+C_3.\quad(15)$$

5б) Пусть $C_1c=1$. Получаем интеграл

$$\int\frac{2r_g\,dR}{(R^2+1-C_1^2c^2)^2}=\int\frac{2r_g\,dR}{R^4}=-\frac{2r_g}{3R^3}+C_3.$$

Возвращаясь к переменной $r$, получаем

$$\int\frac{-dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=-\frac{2\sqrt{r^3}}{3\sqrt{r_g}}+C_3.\eqno(16)$$

5в) Пусть $C_1c>1$. Методом Остроградского находим

$$\int\frac{2r_gdR}{(R^2+1-C_1^2c^2)^2}=-\frac{r_g\,R}{(C_1^2c^2-1)(R^2+1-C_1^2c^2)}-\frac{r_g}{C_1^2c^2-1}\int\frac{dR}{R^2-\bigl(\sqrt{C_1^2c^2-1}\bigr)^2}=$$

$$=-\frac{r_gR}{(C_1^2c^2-1)(R^2+1-C_1^2c^2)}-\frac{r_g}{2\bigl(\sqrt{C_1^2c^2-1}\bigr)^3}\ln\biggl\lvert\frac{R-\sqrt{C_1^2c^2-1}}{R+\sqrt{C_1^2c^2-1}}\biggr\rvert}+C_3.$$

Домножая числитель и знаменатель дроби под знаком логарифма на $R+\sqrt{C_1^2c^2-1}$ и возвращаясь к переменной $r$, получим

$$\int\frac{-dr}{\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=-\frac{r\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}{C_1^2c^2-1}+\frac{r_g\Bigl(2\ln\Bigl(\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}+\sqrt{C_1^2c^2-1}\Bigr)-\ln\frac{r_g}r\Bigr)}{2\sqrt{(C_1^2c^2-1)^3}}+C_3.\quad(17)$$

6) Интегрируем уравнение (12). Поскольку нас интересует падение частицы в чёрную дыру, перед корнем возьмём знак "$-$":

$$\frac{dr}{dt}=-\frac 1{C_1}\Bigl(1-\frac{rg}r\Bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}\Rightarrow dt=-\frac{C_1dr}{\bigl(1-\frac{rg}r\bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}},$$

$$t-t_0=\int\limits_{r_0}^r\frac{-C_1dr}{\bigl(1-\frac{rg}r\bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}.\eqno(18)$$

Этот интеграл вычисляется той же подстановкой, что и (14).

6а) $0<C_1c<1$.

\begin{multline*} \int\frac{-C_1dr}{\bigl(1-\frac{rg}r\bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=\frac{C_1r\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}{1-C_1^2c^2}+\frac{r_g}c\biggl(2\ln\biggl(\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}+C_1c\biggr)-\\ -\ln\Bigl\lvert\frac{r_g}r-1\Bigr\rvert\biggr)+\frac{C_1r_g(3-2C_1^2c^2)}{\sqrt{(1-C_1^2c^2)^3}}\arctg\sqrt{\frac{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}{1-C_1^2c^2}}+C_4.\tag{19} \end{multline*}

6б) $C_1c=1$.

$$\int\frac{-C_1dr}{\bigl(1-\frac{rg}r\bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=\int\frac{-dr}{c\bigl(1-\frac{r_g}r\bigr)\sqrt{\frac{r_g}r}}=$$

$$=-\frac{2r_g}c\left(\frac 13\sqrt{\Bigl(\frac r{r_g}\Bigr)^3}+\sqrt{\frac r{r_g}}+\frac 12\ln\Bigl\lvert 1-\frac{r_g}r\Bigr\rvert-\ln\Bigl\lvert 1+\sqrt{\frac{r_g}r}\Bigr\rvert\right)+C_4.\eqno(20)$$

6в) $C_1c>1$.

\begin{multline*} \int\frac{-C_1dr}{\bigl(1-\frac{rg}r\bigr)\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}=\frac{C_1r\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}}{1-C_1^2c^2}+\frac{r_g}c\biggl(2\ln\biggl(\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}+C_1c\biggr)-\\ -\ln\Bigl\lvert\frac{r_g}r-1\Bigr\rvert\biggr)+\frac{C_1r_g(3-2C_1^2c^2)}{2\sqrt{(C_1^2c^2-1)^3}}\biggl(2\ln\biggl(\sqrt{C_1^2c^2-1+\frac{r_g}r}+\sqrt{C_1^2c^2-1}\biggr)-\ln\frac{r_g}r\biggr)+C_4.\quad(21) \end{multline*}

III. Выше мы рассчитали численно падение частицы в чёрную дыру гравитационного радиуса $r_g=2$ с начальными условиями $s_0=0$, $r_0=4$, $r'_0=0$, $v_0=0$, $u_0=e$, $u'_0=0$, $v'_0=\frac{e\sqrt{2}}4$. Найдём соответствующее точное решение.
Постоянную $C_1$ находим из уравнения (11), подставляя в него начальные значения: $C_1^2c^2=r'_0^2+1-\frac{r_g}{r_0}=\frac 12$, откуда $C_1c=\frac{\sqrt{2}}2<1$ и $C_1=\frac{\sqrt{2}}{2c}$.
Комбинируя (14), (15), формулу Ньютона—Лейбница и подставляя заданные значения, получим

$$s=\sqrt{2r(4-r)}+4\sqrt{2}\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}.\eqno(22)$$

Чтобы найти собственное время частицы в момент пересечения горизонта, подставим $r=r_g=2$; получится $s_g=(2+\pi)\sqrt{2}\approx 7{,}271310062904556$, что совпадает с результатом подбора по численному решению ($7{,}27131$) с той точностью, с какой этот подбор выполнен.
Можно также найти собственное время в момент падения в сингулярность: переходя в выражении (22) к пределу при $r\to 0^+$, получим $s_s=2\pi\sqrt{2}\approx 8{,}885765876316732$ (Wolfram Mathematica заканчивает численное интегрирование уравнений движения чуть раньше, с предупреждением "NDSolve::ndsz: At s == 8.885765115903034`, step size is effectively zero; singularity or stiff system suspected.")

Для использования решения (18), (19) нужно найти начальное значение $t_0$. Для этого можно использовать формулы перехода от координат Крускала—Секереша к координатам Шварцшильда, которые можно найти в третьем томе МТУ (формулы (31.17а) для области (I), где $r>r_g$, с учётом изменений в обозначениях):

$$\begin{cases}u=\sqrt{\frac r{r_g}-1}\,e^{\frac r{2r_g}}\ch\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr),\\ v=\sqrt{\frac r{r_g}-1}\,e^{\frac r{2r_g}}\sh\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr).\end{cases}\eqno(23)$$

Подставляя сюда $u_0=e$, $v_0=0$, $r_g=2$, $r_0=4$, найдём $t_0=0$. Подставляя начальные значения, $C_1c=\frac{\sqrt{2}}2$ и $C_1=\frac{\sqrt{2}}{2c}$, получим решение

$$t=\frac 1c\biggl(\sqrt{r(4-r)}+4\ln\biggl(\sqrt{\frac{4-r}{2r}}+\frac{\sqrt{2}}2\biggr)+8\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}-2\ln\Bigl\lvert\frac{r-2}r\Bigr\rvert\biggr).\eqno(24)$$

Подставляя выражение (24) в формулы (23) и учитывая, что $\ch\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr)=\frac 12\bigl(\exp\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr)+\exp\bigl(-\frac{ct}{2r_g}\bigr)\bigr)$, $\sh\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr)=\frac 12\bigl(\exp\bigl(\frac{ct}{2r_g}\bigr)-\exp\bigl(-\frac{ct}{2r_g}\bigr)\bigr)$, $r_g=2$, получим в области I выражения
\begin{multline*} u=\sqrt{\frac{r-2}2}e^{\frac r4}\frac 12\Biggl(\sqrt{\frac r{r-2}}\biggl(\sqrt{\frac{4-r}{2r}}+\frac{\sqrt{2}}2\biggr)\exp\biggl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)+\\ +\sqrt{\frac{r-2}r}\biggl(\sqrt{\frac{4-r}{2r}}+\frac{\sqrt{2}}2\biggr)^{-1}\exp\biggl(-\frac 14\sqrt{r(4-r)}-2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)\Biggr)= \end{multline*}
\begin{multline*} =\frac 12e^{\frac r4}\Biggl(\frac 12(\sqrt{4-r}+\sqrt{r})\exp\biggl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)+\\ +\frac{r-2}{\sqrt{4-r}+\sqrt{r}}\exp\biggl(-\frac 14\sqrt{r(4-r)}-2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)\Biggr),\tag{25} \end{multline*}
\begin{multline*} v=\sqrt{\frac{r-2}2}e^{\frac r4}\frac 12\Biggl(\sqrt{\frac r{r-2}}\biggl(\sqrt{\frac{4-r}{2r}}+\frac{\sqrt{2}}2\biggr)\exp\biggl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)-\\ -\sqrt{\frac{r-2}r}\biggl(\sqrt{\frac{4-r}{2r}}+\frac{\sqrt{2}}2\biggr)^{-1}\exp\biggl(-\frac 14\sqrt{r(4-r)}-2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)\Biggr)= \end{multline*}
\begin{multline*} =\frac 12e^{\frac r4}\Biggl(\frac 12(\sqrt{4-r}+\sqrt{r})\exp\biggl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)-\\ -\frac{r-2}{\sqrt{4-r}+\sqrt{r}}\exp\biggl(-\frac 14\sqrt{r(4-r)}-2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\biggr)\Biggr).\tag{26} \end{multline*}
Видим, что выражения (25) и (26), определённые для области I, где $r>r_g$, благополучно продолжаются до горизонта $r=r_g=2$ и дают значения $u_g=v_g=\frac 12e^{\frac 12}\Big(\sqrt{2}\exp\big(\frac 12+\frac{\pi}2\big)\Big)=\frac{\sqrt{2}}2\exp\big(\frac{2+\pi}2\big)\approx 9{,}246293204082303$, что совпадает с результатом подбора по численному решению ($9{,}24629$) с соответствующей точностью.

Далее нужно продифференцировать выражения (25) и (26). После определённой возни с упрощением громоздких выражений получим

$$\begin{cases}\frac{du}{dr}=-\frac r{4\sqrt{4-r}}e^{\frac r4}\sh\Bigl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\Bigr),\\ \frac{dv}{dr}=-\frac r{4\sqrt{4-r}}e^{\frac r4}\ch\Bigl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\Bigr).\end{cases}\eqno(27)$$

Подставляя в выражение (11) (со знаком "$-$" перед корнем) значения $C_1^2c^2=\frac 12$ и $r_g=2$, получим

$$\frac{dr}{ds}=-\sqrt{\frac{4-r}{2r}};\eqno(28)$$

теперь по формуле производной сложной функции находим

$$\begin{cases}\frac{du}{ds}=\frac{du}{dr}\cdot\frac{dr}{ds}=\frac{\sqrt{2r}}8e^{\frac r4}\sh\Bigl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\Bigr),\\ \frac{dv}{ds}=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{ds}=\frac{\sqrt{2r}}8e^{\frac r4}\ch\Bigl(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\Bigr).\end{cases}\eqno(29)$$

Наконец, по формуле производной функции, заданной параметрически,

$$\frac{du}{dv}=\left.\frac{du}{ds}\right/\frac{dv}{ds}=\th\left(\frac 14\sqrt{r(4-r)}+2\arctg\sqrt{\frac{4-r}r}\right).\eqno(30)$$

Для сравнения с приближённым решением, найденным численными методами, подставим $r=r_g=2$ в выражения (29) и (30): $\frac{du}{ds}=\frac{\sqrt{e}}4\sh\left(\frac{1+\pi}2\right)\approx 1{,}6085442093175766$, $\frac{dv}{ds}=\frac{\sqrt{e}}4\ch\left(\frac{1+\pi}2\right)\approx 1{,}660514103405267$ и $\frac{du}{dv}=\th\left(\frac{1+\pi}2\right)\approx 0{,}968702527740587$. Все три числа с точностью в шесть значащих цифр совпадают с результатами, полученными численно.

III. Рассмотрим теперь продолжение решения в область (II), где $0<r<r_g$, то есть, внутрь чёрной дыры. С выражением (22) никакой проблемы нет, так как оно не имеет никаких особенностей, однако выражение (24) имеет разрыв на горизонте. Проблема в том, что система координат Шварцшильда содержит две карты, никак между собой не связанные: внешнюю ($r>r_g$) и внутреннюю ($r<r_g$). Ни одна из них не содержит точек горизонта $r=r_g$, поэтому невозможно связать решение (24), действующее во внешней области, с каким-либо решением во внутренней области. Чтобы продолжить внешнее решение внутрь чёрной дыры, нужно перейти к координатам, которые не имеют особенностей на горизонте. Внутреннее решение даётся тем же выражением (19), но для определения произвольной постоянной $C_4$ нельзя использовать определённый интеграл (18). Вместо этого нужно использовать значения внешнего решения на горизонте в качестве начальных значений для внутреннего решения.

В данном случае мы, однако, можем обойтись без этих длинных вычислений. Заметим, что выражения (25)—(29) не имеют никаких особенностей при $0<r<r_0=4$; в частности, они удовлетворяют уравнениям (3)—(5) на всём этом интервале. При желании это можно проверить подстановкой в уравнения. Вторые производные по $s$ можно вычислить по формулам

$$\begin{cases}\frac{d^2u}{ds^2}=\frac{d^2u}{dr^2}\cdot\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{du}{dr}\cdot\frac{d^2r}{ds^2},\\ \frac{d^2v}{ds^2}=\frac{d^2v}{dr^2}\cdot\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{dv}{dr}\cdot\frac{d^2r}{ds^2}.\end{cases}$$

Однако этими длинными вычислениями мы тоже здесь заниматься не будем.

Заметим ещё, что выражение (30) для координатной скорости $\frac{du}{dv}$ при $r\to 0^+$ имеет конечный предел $\lim\limits_{r\to 0^+}\frac{du}{dv}=\th\pi\approx 0{,}99627207622075$, в то время как численное решение для $s=8{,}885765115903034$ даёт $\frac{du}{dv}\approx 0{,}9962717133163331$. Таким образом, даже и в сингулярность частица падает со скоростью, меньшей скорости света.

IV. Выводы. 1) Численное решение очень близко к точному вплоть до момента падения в сингулярность. Поэтому не видно никаких причин не использовать численные методы.
2) Вычисления предела $\frac{du}{dv}$ при $r\to 2M=r_g$ в сообщении https://dxdy.ru/post1299443.html#p1299443 дало $-1$, а в следующем сообщении https://dxdy.ru/post1299778.html#p1299778 немного другое вычисление дало $1$. Я в деталях этих вычислений не копался; типичная причина подобных результатов часто состоит в том, что в одном случае нулями были заменены одни слагаемые, а в другом — другие. Студентов первого курса учат, что заменять в числителе и знаменателе дроби слагаемые их предельными значениями без анализа порядка малости нельзя. Здесь же неожиданно оказывается, что порядки малости некоторых совершенно непохожих выражений ($\sqrt{\frac r{r_g}-1}$, $\frac 1{\ch\left(\frac{ct}{2r_g}\right)}$, $\frac 1{\sh\left(\frac{ct}{2r_g}\right)}$) оказываются одинаковыми, поэтому никаким из них пренебрегать нельзя. Правильное значение предела, как мы видели, не равно ни $1$, ни $-1$, так что падающая частица в координатах Крускала—Шекереса пересекает горизонт событий чёрной дыры с координатной скоростью, меньшей скорости света.
3) Не стоит уделять координатной скорости $\frac{du}{dv}$ слишком много внимания, так как существенного физического смысла она не имеет. В частности, величина этой "скорости" в момент пересечения горизонта или в момент падения в сингулярность существенно зависит от начального значения $t_0$, хотя внешняя метрика в координатах Шварцшильда статическая, и падение частицы с любым $t_0$ выглядит одинаково.

[schekn]

Я несколько лет назад здесь уже решал похожую задачу. У меня немного попроще получилось.
При $r_g=1$ скорость, которую иногда называют физической, улетающей геодезической:

$$\frac{dU}{dV}=\frac{e^a-1}{e^a+1},\quad a=\frac{2}{3}r^{3/2}+2\sqrt{r}$$

Видно, что эта скорость меньше $1$ везде.
При $r=1$

$$ \frac{dU}{dV}=0.8700616617426719 $$

Разница вызвана тем, что тут рассматривается частица, которая покоилась на бесконечности в шварцшильдовской системе координат (Другая постоянная интегрирования).

В некоторой литературе $\frac{dU}{dV}$ называют "физической скоростью" в рамках хронометрических преобразований.

Она должна быть меньше $1$, иначе времениподобная станет изотропной при $\frac{dU}{dV}=1$ .

В системе координат Крускала эта скорость стремится к $1$ в бесконечно удаленной точке, при $r\to \infty$. Видимо можно успокоиться, что этого не произойдет.

[Утундрий]

Someone
А если не пробной? Все эти переливания вокруг нуля "конечно же ненулевого детерминанта" весьма сомнительны. Может всё-таки напрячься и...?

[Someone]

Утундрий в сообщении #1399200 писал(а):

Все эти переливания вокруг нуля "конечно же ненулевого детерминанта" весьма сомнительны.

Я не понял, в чём у Вас проблема. В координатах Крускала—Секереша детерминант метрического тензора на горизонте точно не обращается в $0$, в чём Вы лично можете убедиться. Координаты Шварцшильда на горизонте неприменимы, и говорить там о детерминанте просто бессмысленно.

Я предпринял расчёты для опровержения утверждения, что скорость падающей частицы на горизонте всегда равна скорости света, и более никакой цели у меня не было.

Случай падения тела, которое нельзя считать пробным, требует учёта влияния этого тела на гравитационное поле чёрной дыры. Отличие состоит в том, что гравитационное поле становится несимметричным, что приводит к излучению гравитационных волн. Эти волны рассеиваются на кривизне, часть поглощается чёрной дырой, часть уходит на бесконечность; в результате все асимметрии исчезают, и остаётся чёрная дыра с немного изменившимися массой и моментом импульса. Никаких точных решений для этого случая нет, считать надо либо какими-то приближёнными методами (сложность методов можете оценить по книге Н. Р. Сибгатуллина "Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях"), либо вообще численным моделированием. Если хотите этим заняться — флаг Вам в руки и барабан на шею. Танк навстречу уже ожидает.

[Утундрий]

Someone в сообщении #1399230 писал(а):

Я не понял, в чём у Вас проблема. В координатах Крускала—Секереша...

Нет, здесь всё в порядке. Хотя сам я предпочитаю слегка отличные координаты, следующие из вложения Фронсдайла метрики Шварцшильда в шестимерное псевдоевклидово пространство типа 1-5. Просто, когда перед тобой цельный геометрический образ, гораздо проще раскрашивать его всякими $r$ и $t$ как заблагорассудится.

Проблема у меня в том, что я совершенно потерял веру в "пробные частицы". Дело в том, что насильно навязанная "пробность" потом почти никогда не оправдывается.

Someone в сообщении #1399230 писал(а):

Случай падения тела, которое нельзя считать пробным, требует учёта влияния этого тела на гравитационное поле чёрной дыры. Отличие состоит в том, что гравитационное поле становится несимметричным, что приводит к излучению гравитационных волн. Эти волны рассеиваются на кривизне, часть поглощается чёрной дырой, часть уходит на бесконечность; в результате все асимметрии исчезают, и остаётся чёрная дыра с немного изменившимися массой и моментом импульса.

Согласен.

Someone в сообщении #1399230 писал(а):

Никаких точных решений для этого случая нет, считать надо либо какими-то приближёнными методами (сложность методов можете оценить по книге Н. Р. Сибгатуллина "Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях"), либо вообще численным моделированием

К сожалению, не читал. Трудности возникают в высших приближениях? Спрашиваю потому, что никаких принципиальных трудностей в линейном приближении я не вижу.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1399321 писал(а):

Проблема у меня в том, что я совершенно потерял веру в "пробные частицы".

А почему?

[Утундрий]

Munin в сообщении #1399324 писал(а):

А почему?

По ощущениям - потому что негоже соваться с линейными методами в нелинейные явления. Хотя формального доказательства данного тезиса у меня нет.

[Munin]

Ну, пробные частицы - это скорее не про физику, а про то, как описать многообразие. Примерно тот же смысл, что у геодезических, локальных реперов и прочая.

А нелинейные явления хороши тем, что в малом линейны. Если они даже в малом не таковы, то это вообще кошмар.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1399329 писал(а):

нелинейные явления хороши тем, что в малом линейны

Не всегда. Например, в теории устойчивости в случае когда с.з. матрицы линеаризованной системы имеют равные нулю действительные части.

[Someone]

Утундрий в сообщении #1399321 писал(а):

К сожалению, не читал.

Я ведь тоже в этой книге особо не копался, поскольку это же не моя специальность, а книгу купил потому, что, будучи аспирантом, слушал лекции Сибгатуллина (и обнаружил в этой книге то, что он рассказывал в лекциях). В данном случае меня интересовал конкретный вопрос, к этой книге отношения не имеющий.

Утундрий в сообщении #1399321 писал(а):

Трудности возникают в высших приближениях? Спрашиваю потому, что никаких принципиальных трудностей в линейном приближении я не вижу.

Ну, линеаризуйте уравнения в окрестности метрики Крускала—Шекереса или другой, которая Вам больше нравится, и посмотрите, что получится. Я этим вряд ли займусь.

Утундрий в сообщении #1399321 писал(а):

Проблема у меня в том, что я совершенно потерял веру в "пробные частицы". Дело в том, что насильно навязанная "пробность" потом почти никогда не оправдывается.

А что изменится в данной задаче, если вместо пробной частицы рассмотреть, например, компактное облако пыли малой массы, примерно радиально падающее в чёрную дыру? До пересечения горизонта, я думаю, существенной разницы не будет, а внутри всё может пойти вразнос, поскольку внутреннее решение неустойчиво; но снаружи мы этого не увидим.

[Утундрий]

Someone в сообщении #1399333 писал(а):

До пересечения горизонта, я думаю, существенной разницы не будет, а внутри всё может пойти вразнос, поскольку внутреннее решение неустойчиво; но снаружи мы этого не увидим.

Для меня это повод вообще не рассматривать такие решения.

[Someone]

Утундрий в сообщении #1399334 писал(а):

Для меня это повод вообще не рассматривать такие решения.

А какие же рассматривать, если других точных нет?

[Утундрий]

Someone в сообщении #1399336 писал(а):

других точных нет

Тогда это как минимум странно. Одно из двух - или их нет только в линейном приближении, или же их всё-таки есть. Пусть и меньше чем не их.

[Someone]

Утундрий в сообщении #1399434 писал(а):

Тогда это как минимум странно.

А какие Вы знаете точные стационарные решения для, скажем, не вращающейся и не заряженной чёрной дыры?

[Утундрий]

А, мы просто говорим о разном. Вы о фоне, я - о возмущении. Если мы ищем возмущение в координатах, покрывающих все многообразие, то "пошедшие в разнос" (неважно в какой области) имеет смысл отбрасывать.

Someone в сообщении #1399500 писал(а):

какие Вы знаете точные стационарные решения для, скажем, не вращающейся и не заряженной чёрной дыры?

Ну, как бы одно - Шварцшильдово. Хотя есть еще НУТ, но оно несколько странным образом сферически симметрично.