2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 14:25 


22/04/18
92
Для любого ли натурального $n$ существует решение уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = n$ в целых числах? Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов, то можно сказать, что $z= 0$ и уравнение имеет решение, так что в целом можно рассматривать только уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$. Мне удалось лишь понять, что $x$ обязательно четно, а $y$ и $z$ нечетны. Наверняка это уже кто-то изучал. Подскажите пожалуйста, кто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):
$x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$
Что-то слишком просто. Возьмите $z=1$ и получите уравнение $x^2 - y^2 = 4n+3$, которое вы уже умеете решать.
Или я не понял условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 16:42 


22/04/18
92
Я хотел найти все решения для фиксированного $n$. Те, где подходит $z=0$ убрал, поскольку они мне не интересны в данной ситуации. Извиняюсь за неточную формулировку (когда писал конец, уже забыл что было в начале, первое предложение первого поста можно не читать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 17:41 


23/02/12
3113
daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):
Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов
Это выполняется только, если $n$ при делении на 4 не дает в остатке 2 (см. Серпинский стр. 18), поэтому уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$ при $z= 0$ не имеет целых решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 17:50 


22/04/18
92
Именно поэтому мы его и рассматриваем

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 18:04 


23/02/12
3113
daniel starodubtsev в сообщении #1399763 писал(а):
Именно поэтому мы его и рассматриваем

Так Вы сформулируйте нормально постановку задачи. Что Вы хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 18:06 


22/04/18
92
Я хочу узнать как найти все целые корни уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = 4n + 2$ для заданного $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
1) $z$ обязано быть нечётным (и при любом нечётном $z$ есть решения).
2) Для каждого нечётного $z$ переносим $z^2$ направо, перебираем всевозможные целые делители правой части $p_i$: $z^2+4n+2=p_iq_i$, получаются решения $x=(p_i+q_i)/2$, $y=(p_i-q_i)/2$.
3) Других решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 21:50 


22/04/18
92
То есть необходима факторизация $z$? Возможно ли обойтись без неё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение20.06.2019, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Факторизация, но не $z$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group