Квадрат минус ещё два

[daniel starodubtsev]

Для любого ли натурального $n$ существует решение уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = n$ в целых числах? Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов, то можно сказать, что $z= 0$ и уравнение имеет решение, так что в целом можно рассматривать только уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$. Мне удалось лишь понять, что $x$ обязательно четно, а $y$ и $z$ нечетны. Наверняка это уже кто-то изучал. Подскажите пожалуйста, кто?

[worm2]

daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):

$x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$

Что-то слишком просто. Возьмите $z=1$ и получите уравнение $x^2 - y^2 = 4n+3$, которое вы уже умеете решать.
Или я не понял условие?

[daniel starodubtsev]

Я хотел найти все решения для фиксированного $n$. Те, где подходит $z=0$ убрал, поскольку они мне не интересны в данной ситуации. Извиняюсь за неточную формулировку (когда писал конец, уже забыл что было в начале, первое предложение первого поста можно не читать)

[vicvolf]

daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):

Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов

Это выполняется только, если $n$ при делении на 4 не дает в остатке 2 (см. Серпинский стр. 18), поэтому уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$ при $z= 0$ не имеет целых решений.

[daniel starodubtsev]

Именно поэтому мы его и рассматриваем

[vicvolf]

daniel starodubtsev в сообщении #1399763 писал(а):

Именно поэтому мы его и рассматриваем

Так Вы сформулируйте нормально постановку задачи. Что Вы хотите?

[daniel starodubtsev]

Я хочу узнать как найти все целые корни уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = 4n + 2$ для заданного $n$.

[worm2]

1) $z$ обязано быть нечётным (и при любом нечётном $z$ есть решения).
2) Для каждого нечётного $z$ переносим $z^2$ направо, перебираем всевозможные целые делители правой части $p_i$: $z^2+4n+2=p_iq_i$, получаются решения $x=(p_i+q_i)/2$, $y=(p_i-q_i)/2$.
3) Других решений нет.

[daniel starodubtsev]

То есть необходима факторизация $z$? Возможно ли обойтись без неё?

[ИСН]

Факторизация, но не $z$.